Тема III – Основы математического анализа (стр. 2 )

§  Множество точек плоскости с координатами (x,f(x)), x Î X называют графиком функции f.

Не для всякой функции график будет линией в обычном представлении, например определяет лишь одну точку (0,0) на координатной плоскости.

9.2. Способы задания функций

Для изучения функции ее необходимо задать, т. е. указать правило, позволяющее по значению аргумента функции находить соответствующее ему значение функции. Это правило можно указать различными способами. К таким способам можно отнести аналитический, параметрический, графический, табличный, алгоритмический и описательный.

Мы будем, в основном, изучать числовые функции, т. е. функции, у которых область определения и множество значений являются числовыми множествами. Числовые функции чаще всего задаются аналитическим способом, т. е. при помощи формул. Например, , , . Если уравнение, с помощью которого задается функция не разрешено относительно y, то функция называется неявной. Так, известное со школы уравнение окружности с центром в точке не разрешено относительно и является уравнением неявной функции.

Иногда числовые функции на различных числовых промежутках задаются различными формулами. Такова, например, функция

Когда зависимость y от x не задана непосредственно, а вместо этого даны зависимости обоих переменных x и y от некоторого третьего вспомогательного переменного t в виде

, где ,

то это – параметрический способ задания функции; тогда вспомогательное переменное t называют параметром.

При графическом способе задания функции зависимость y от x задают при помощи линии на плоскости x0y.

Табличный способ задания функции, это способ, когда некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции в определенном порядке размещаются в таблице. Например, тригонометрические функции представлены таблицами Брадиса. В виде таблицы обычно представляют экспериментальные зависимости. Недостаток этого способа состоит в невозможности непосредственного определения значений функции, не входящих в таблицу.

Алгоритмический способ задания функции широко используют при вычислениях на ЭВМ.

Описательный (или словесный) способ задания функции – это способ, при котором правило соответствия значений функции значениям аргумента выражено словами. Например, функцию, которая каждому числу ставит в соответствие целую часть этого числа , можно задать так: «значением функции является наибольшее целое число, не превосходящее х».

9.3. Некоторые свойства функций

ü  Функция y=f(x), определяемая на множестве D является четной, если выполняются условия и ; нечетной, если выполняются условия и . График четной функции

симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

ü  Функция y=f(x) определена на множестве D и пусть . Если для любых значений : , то функция называется возрастающей на множестве D1; , то функция называется убывающей на множестве D1; , то функция называется неубывающей на множестве D1; , то функция

называется невозрастающей на множестве D1. Возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрастающие функции на D1 называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие – строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.

ü  Функцию y=f(x), определенную на множестве D, называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число M>0, что для всех xÎD выполняется неравенство . График ограниченной функции лежит между прямыми y=M и y=–M.

ü  Функцию y=f(x), определенную на множестве D, называют периодической на этом множестве, если существует такое число T>0, что при каждом xÎD значение (x+T)ÎD и . Число T называется периодом функции.

9.4. Обратная функция

Пусть задана функция y=f(x) с областью определения D и множеством значений E. Если каждому значению yÎE соответствует единственное значение xÎD, то определена функция с областью определения E и множеством значений D. Такая функция называется обратной к функции y=f(x).

Из определения обратной функции вытекает, что функция y=f(x) имеет обратную тогда и только тогда, когда каждому xÎD соответствует единственное yÎE и наоборот, то есть когда функция y=f(x) задает взаимнооднозначное соответствие между множествами D и E. Тогда всякая строго монотонная функция имеет обратную, при этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

9.5. Основные элементарные функции

Среди огромного числа функций в ходе развития математики была выделена небольшая совокупность сравнительно простых функций, особенно часто встречающихся в самых разнообразных приложениях математического анализа и поэтому подвергнутых наиболее подробному исследованию. Их называют основными элементарными функциями. К ним относят функции степенную, показательную и логарифмическую, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

ü  Степенная функция – это функция вида y=xn, где .

·  Пусть . Тогда данная функция определена для всех .

y=x

y=x2

y=x3

·  Пусть n – целое отрицательное число. В этом случае функция определена при всех .

·  Пусть n – произвольное действительное число, тогда степенная функция будет определена при x > 0.