Тема III – Основы математического анализа (стр. 4 )

§  Число А называется пределом функции y = f(x) слева в точке х0, если для любого существует число такое, что при , выполняется неравенство . Предел слева записывают следующим образом: или f(x0-0)=A. Аналогично определяется предел функции справа. Обозначается или f(x0+0)=A. Пределы функции слева и справа называют односторонними пределами.

10.3. Предел функции на бесконечности

§  Число A называется пределом функции f(x) при , если для любого e>0 наществует такое число N=N(e)>0, что при всех x удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство . Записывают: .

Кратко:

Если , то пишут ; если , то .

10.4. Бесконечно большие функции

§  Функция y = f(x) называется бесконечно большой функцией (ББФ) при , если

. Записывают: .

Иными словами, такая функция f(x) является неограниченной в окрестности точки х0.

Если f(x) – бесконечно большая при и при этом принимает вблизи точки х0 только положительные значения, то пишут ; если такая функция принимает только отрицательные значения, то .

§  Функция y = f(x) называется бесконечно большой функцией при , если . Записывают: .

Пример. Для функции y = f(x) на рисунке:

; ;; ; ; ; ; .

§11. Бесконечно малые функции

11.1. Определение и основные теоремы

§  Функция y=α(x) называется бесконечно малой функцией (БМФ) при , если.

Например, y=x2 при является функцией бесконечно малой, а функция является бесконечно малой функцией при .

Теорема 11.1. Алгебраическая сумма БМФ есть БМФ.

Теорема 11.2. Произведение БМФ на ограниченную функцию есть БМФ.

Следствие 1. Произведение конечного числа БМФ есть БМФ.

Следствие 2. Произведение БМФ на число есть БМФ.

Теорема 11.3. Частное от деления БМФ на функцию, имеющую предел, отличный от нуля – есть БМФ.

Теорема 11 4. Если α(x) – БМФ, то – ББФ. Обратно, если f(x) – ББФ, то – БМФ.

Теорема 11.5. функцию f(x) можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции α(x).

Доказательство: Пусть . Следовательно, по определению, такое, что для всех х из d-окрестности точки х0 выполняется неравенство , то есть , а это значит, что , то есть функция f(x)–A есть БМФ. Обозначив f(x)–A=α(x), получаем f(x)=A+α(x), что и требовалось доказать.

Обратно, пусть f(x)=A+α(x), где α(x) – БМФ. То есть такое, что для всех х из d-окрестности точки х0 выполняется неравенство , то есть, а это означает по определению предела функции в точке, что .

11.2. Основные теоремы о пределах

Теорема 11.6. Предел суммы двух функций равен сумме пределов (если они существуют и конечны):

Доказательство. Пусть Þ по теореме 5 f(x)=A+α(x), где α(x) – БМФ. Аналогично, если , то g(x)=B+β(x), где β(x) - БМФ.

Тогда f(x)+g(x)=(A+B)+(α(x)+β(x)).

Поскольку сумма двух БМФ есть БМФ, следовательно α(x)+β(x) – БМФ. Таким образом, по теореме 5, получим:

Следствие. Если предел функции существует, то он единственный.

Теорема 11.7. Предел произведения двух функций равен произведению пределов (если они существуют и конечны):

.

Теорема 11.8. , если .

Теорема 11 9. (Теорема о пределе промежуточной функции.)

Если функция φ(x) такова, что

и ,

то .