Тема III – Основы математического анализа (стр. 3 )

y=xn, n>0

ü 

Показательная функция – это функция вида y=ax, где a>0 и . Она определена при всех x.

y=2x

y=ax, a>0

ü  Логарифмическая функция – функция вида y=logax, a>0, . Она определена при xÎ(0;+¥).

По определению логарифма, , так что логарифмическая функция является обратной для показательной функции y=ax.

Заметим, что одним из наиболее часто встречающихся и удобных является логарифм по основанию е – натуральный логарифм lnx.

Напомним здесь некоторые часто используемые свойства логарифмической функции на примере натурального логарифма:

elnx=x;

; ; ;

;

y=lnx

Напомним здесь некоторые часто используемые свойства логарифмической функции на примере натурального логарифма:

elnx=x;

; ; ;

;

ü  Тригонометрические функции.

К тригонометрическим относят следующие функции: y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx. Их графики представлены на cследующих рисунках:

y=sinx

y=cosx

y=tgx

y=ctgx

ü  Обратные тригонометрические функции.

y=arcsinx - функция, обратная для функции sinx на интервале ее монотонности: ;

y=arccosx, ;

y=arctgx, ;

y=arcctgx, .

Графики первых трех функций представлены ниже.

y=arcsinx

y=arccosx

y=arctgx

9.6. Сложная функция и элементарные функции

Пусть функция y = f(u) определена на множестве D, а функция u = j (x) определена на множестве D1. Тогда на множестве D1 определена функция y = f(j(x)). Данная функция называется сложной функцией (или функцией от функции), а переменная u – промежуточным аргументом.

Функции, которые можно получить при помощи конечного числа алгебраических операций над основными элементарными функциями и операции взятия функции от функции называют элементарными функциями.

Примерами элементарных функций являются:

многочлен y=Pn(x)=anxn +an-1xn-1+…+a1x+a0, где nÎN – степень многочлена, а a0,a1,…,an – его коэффициенты, причем ,

рациональная функция , сложные функции и т. п.

Рассмотренная выше функция signx не является элементарной.

§10. Предел функции

10.1. Предел функции в точке

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 или в некоторых точках этой окрестности.

§  Говорят, что функция y = f(x) стремится к пределу A () при x стремящемся к x0 (), если для любого сколь угодно малого найдется такой , что для всех x, отличных от x0 и удовлетворяющих неравенству имеет место неравенство . Записывают следующим образом .

Кратко это определение записывают, при помощи общепринятых обозначений, перечисленных в п. 8.1., следующим образом:

.

Геометрически это определение означает, что чем ближе значение аргумента функции х к х0, тем ближе значение функции у к А (какую бы маленькую мы ни выбрали e-окрестность точки А, найдется такое d, что для всех значений аргуимента из d-окрестности точки х0 значение функции попадет в e-окрестность точки А).

10.2. Односторонние пределы

В определении предела функции считается что любым способом. Бывают случаи, когда способ приближения аргумента существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятие односторонних пределов.