Тема III – Основы математического анализа (стр. 9 )

Пусть F(x;y) = 0 неявная функция. Чтобы найти производную от неявной функции надо взять производную от каждой части равенства, учитывая, что y(x)

– сложная функция. Так, ; ; и т. д.

Пример. Найдем производную для функции .

.

13.11. Логарифмическая производная

Пусть y = (f(x))g(x). Прологарифмируем данную функцию: ln y = g(x)×ln f(x). Данная функция является неявной. Найдем ее производную: . Получаем:

.

Пример. Найдем производную функции .

Прологарифмируем функцию: , следовательно,

.

13.12. Производная функции, заданной параметрически

Пусть . Вычислим . Поскольку , то Воспользуемся теоремой о производной сложной функции: . Тогда, по теореме о дифференцировании обратной функции, имеем: .

Пример. Найти производную функции, заданной параметрически, если .

Имеем: . Таким образом, получаем производную также в параметрическом виде:

13.13. Примеры вычисления производных

1) .

Для вычисления производной сначала преобразуем нашу функцию: . Тогда имеем:

.

2) . Здесь воспользуемся формулой производной произведения: .

3) .

Воспользуемся формулой производной отношения:

.

4) .

Данная функция является сложной (u = 5x). Имеем:

.

5) .

.

6) .

7) .

.

8) .

Данная функция является неявной. Продифференцируем обе части равенства:

.

9) . Для решения данной задачи прологарифмируем обе части равенства и вычислим производную неявной функции.

.

10) .

Прологарифмируем обе части равенства:

.

Далее продифференцируем неявную функцию:

.

13.14. Производные высших порядков

Производная является также функцией от x и называется производной первого порядка.

Если функция дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается . Итак, .

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается . Итак, .

Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1) порядка:

.

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Примеры.

1) Найти производную 3-го порядка для функции .

Имеем: ; ; .

2) Найти производную -го порядка для функции .

Имеем: ; ; ; ;

. Таким образом, .

§14. Дифференциал функции

14.1. Понятие дифференциала функции

Пусть функция y = f(x) имеет в точке x отличную от нуля производную . Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать , где при , или .

Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух слагаемых и , которые являются бесконечно малыми при . При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с Dx, а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем Dx. Поэтому первое слагаемое называют главной частью приращения функции.