Тема III – Основы математического анализа (стр. 8 )

(обратное, вообще говоря, неверно).

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной.

13.6. Производная постоянной, суммы, произведения и частного двух функций

Для нахождения производной функции y = f(x) по определению, необходимо дать аргументу x приращение Dx, вычислить приращение функции
Dy = f(x+Dx)–f(x) и найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю. Воспользуемся данным алгоритмом для доказательства следующих теорем.

Теорема 13.2. Производная постоянной функции равна 0, т. е. .

Доказательство. Пусть y = C. Тогда f(x+Dx) = C и, следовательно,
Dy = f(x+Dx) – f(x) ) = C – C.

Тогда .

Теорема 13.3. Производная алгебраической суммы двух функций равна сумме производных этих функций, т. е. .

Доказательство. Пусть y = u(x)+v(x). Тогда

Dy = f(x+Dx) – f(x) = u(x+Dx) + v(x+Dx) – u(x) – v(x) = Du+Dv.

Тогда .

Замечание. Теорема верна и для любого конечного числа функций.

Теорема 13.4. Производная произведения двух функций равна производной первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную второй функции, т. е.

Следствие.

Теорема 13. 4.. .

Следствие. .

13.7. Производная сложной и обратной функции

Теорема 13.5. Если u = φ(x) в точке x0 имеет производную , а y = f(u) в точке u0 = φ(x0) имеет производную , то .

Теорема 13.6. Если функция y = f(x) строго монотонна на интервале (a,b) и имеет неравную нулю производную в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция x = j(y) также имеет производную в соответствующей точке, определяемую равенством .

13.8. Производные основных элементарных функций

ü  Производная показательной функции.

Пусть y = ax. Тогда

Dy = ax+Dx – ax = ax (aDx –1).

. Таким образом,

В частности, .

ü  Производная логарифмической функции.

Пусть y = lnx. Тогда

.

Таким образом,

Кроме того, поскольку , то

ü  Производная степенной функции.

Пусть y = xn. Прологарифмируем данное выражение. Имеем: ln y = ln xn =nlnx, откуда y = enlnx Возьмем производную от сложной функции:

.

Таким образом,

.

ü  Производные синуса и косинуса.

Пусть y = sin x. Тогда Dy = sin(x+Dx) – sinx. Представим разность тригонометрических функции в виде произведения:

Следовательно,

Таким образом,

Предоставим читателю, доказать формулу:

ü  Производные тангенса и котангенса.

Пусть y = tg x. Тогда , и на основании правила дифференцирования дроби, получаем: .

Таким образом,

Аналогично для функции , получим

ü  Производные обратных тригонометрических функций

Пусть y = arcsin x. Тогда x = sin y. По теореме о дифференцировании обратной функции имеем, .

Пусть y = arctgx. Тогда x = tg y; .

13.9. Сводная таблица формул дифференцирования

Полученные результаты сведем в таблицу. При этом производные основных функций записаны с использованием правила дифференцирования сложной функции

Правила дифференцирования
Производные основных элементарных функций
(С=const)

13.10. Производная функции, заданной неявно