Тема III – Основы математического анализа (стр. 1 )

ТЕМА III – ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

§8. Множества и операции над ними

8.1. Основные понятия

В основе математического анализа лежит понятие множества. Данное понятие в математике не определено. Под множеством понимают совокупность некоторых объектов, объединенных по какому либо признаку. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множество принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: А, В, Х…, а их элементы – малыми буквами a, b, x. Если элемент принадлежит множеству Х, то пишут xÎX и в случае, если элемент не принадлежит множеству X. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, его обозначают Æ. Множество можно задать либо перечислением его элементов, либо указанием правила по которому элементы объединены в данное множество. Например, множество X={дедка, бабка, внучка, жучка, кошка, мышка} или X={x: x – участник сбора урожая репы}.

§  Множество A называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В (обозначается AÌB).

§  Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными (обозначается A=B).

§  Объединением множеств А и В (обозначается ) называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств. Кратко можно записать так: .

§  Пересечением множеств А и В (обозначается ) называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и множеству В. Кратко: .

§  Разностью множеств А и В (обозначается ) называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и не принадлежит множеству В. Кратко: .

В дальнейшем при изложении будем использовать следующие символы:

– следовательно; – a влечет b;

– тогда и только тогда; – a и b равносильны;

– «для всякого», «для любого»;

– «существует», «найдется»;

: – «такое что».

8.2. Числовые множества

Одним из основных понятий математики является число. В курсе высшей математики мы будем изучать, в основном, числовые множества. Понятие числа возникло в древности и длительное время подвергалось расширению и обобщению. Первые представления о числе возникли из счета предметов. Результатом счета являются числа 1,2,3,…. Такие числа называются натуральными и обозначаются N. На языке множеств можно записать следующим образом: N={1,2,3,…}. Натуральные числа, противоположные

числа и 0 образуют множество целых чисел: Z={0,1,-1,2,-2…}. К рациональным числам относят числа вида , где , т. е. ={: }. Все бесконечные непериодические дроби образуют

множество иррациональных чисел. Множество действительных чисел содержит все рациональные и иррациональные числа, т. е. является объединением двух множеств. Множество можно изобразить в виде числовой оси, где каждая точка является изображением только одного действительного числа. Множествами на такой числовой оси являются следующие числовые промежутки (здесь ):

Замкнутый интервал (отрезок) ;

Открытый интервал ;

Полуоткрытые интервалы

Полубесконечные интервалы

Бесконечный интервал .

§  Окрестностью точки называется любой интервал (a,b), содержащий точку . В частности интервал , где называется окрестностью точки .

Далее приведем некоторые понятия, которые будут использоваться нами при изложении.

§  Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа x называется неотрицательное число , определяемое соотношением

Геометрически выражает расстояние на числовой прямой от точки 0 до точки х. Соответственно, выражает расстояние от точки а до точки х. В частности, окрестность точки можно описать неравенством .

Приведем без доказательства следующие свойства абсолютной величины:

1)  ; 5) ;

2) ; 6) ;

7) , если |y|¹0.

§  Переменной величиной называется величина, которая принимает различные численные значения.

§  Совокупность всех числовых значений переменной величины называется областью изменения этой величины.

§ 9. Функция

9.1. Понятия функции и ее графика

§  Функцией, определенной на множестве X, называют закон f, который каждой точке x Î X ставит в соответствие некоторую единственную точку y Î Y. При этом множество X называют областью определения функции f (обозначают D(f) или D(y)), точку x Î X – аргументом функции, точку y Î Y, соответствующую x, – значением функции в точке x и обозначают y = f(x). Множество Y называют областью значений функции f (обозначают E(f)).

Если элементами X и Y являются действительные числа, то функцию f называют числовой функцией.