Тема III – Основы математического анализа (стр. 11 )

§  Функция f(x) имеет минимум при x = x2, если f(x2+Dx) > f(x2), при всех достаточно малых Dx.

·  Максимумы и минимумы функции называются экстремумами.

Теорема 15.6 (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая функция y = f(x) имеет в точке x = x1 экстремум, то ее производная обращается в нуль в этой точке, т. е. .

·  Точки, в которых производная функции y = f(x) обращается в нуль или не существует, называются критическими.

Теорема 15.7 (достаточное условие существования экстремума). Пусть функция y = f(x) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку x1, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки x1). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при x = x1 функция имеет максимум. Если же при переходе через точку x = x1 функция меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

ü  Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.

§  Говорят, что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (a;b), если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Говорят, что кривая обращена выпуклостью вниз на интервале (b;c), если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале. Кривую, обращенную выпуклостью вверх будем называть выпуклой, а обращенную выпуклостью вниз – вогнутой.

Теорема 15.8. 1) Если во всех точках интервала (a;b) , то кривая y = f(x) на этом интервале выпукла.

2) Если во всех точках интервала (b;c) , то кривая y = f(x) на этом интервале вогнута.

§  Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.

В точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, так как с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны над нею.

Теорема 15.9. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если или не существует и при переходе через значение x = x1 вторая производная меняет знак, то точка с абсциссой x = x1 является точкой перегиба.

ü  Асимптоты

§  Прямая l называется асимптотой кривой, если расстояние d от точки M(x;y) кривой до этой прямой при удалении точки M(x;y) в бесконечность стремится к нулю.

Различают два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

-  Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если .

-  Уравнение наклонной асимптоты y = kx+b, где , а .

-  В частности, если k = 0, то y = b – уравнение горизонтальной асимптоты.

Замечание. Асимптоты графика функции y = f(x) при и могут быть разными, поэтому при вычислении пределов следует отдельно рассматривать случаи и .

Общее исследование функции и построение ее графика рекомендуется выполнять по следующей схеме:

1.  Найти область определения функции.

2.  В случае если область определения функции симметрична относительно начала координат, проверить, не является ли функция четной или нечетной, проверить периодичность функции.

3.  Найти, если это возможно, точки пересечения графика функции с осями координат.

4.  Найти промежутки знакопостоянства функции (промежутки на которых f(x)>0 или f(x)<0); выяснить поведение функции на концах промежутка знакопостоянства (в том числе и на бесконечности), построить схематично график на концах промежутка знакопостоянства.

5.  Найти асимптоты графика функции.

6.  Найти промежутки монотонности функции (промежутки на которых или ), ее экстремумы.

7.  Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции промежутки на которых или ), его точки перегиба.

8.  Построить график, используя полученные результаты исследования.

Заметим, что приведенная схема исследования не является обязательной. Целесообразно выполнение операций сопровождать постепенным построением графика функции и выбирать дополнительные точки.

Пример.

Исследовать функцию .

1. Данная функция определена при всех x, т. е. .

2. Þ данная функция является функцией общего вида.

3. Если .Таким образом график функции пересекает ось Oy в точке O(0;0). Если . График пересекает ось Ox в точках (0; 0) и (3,375; 0).

4. Интервалы знакопостоянства:

x	(-∞;0)	0	(0; 3,375)	3,375	(3,375; 0)
y	–	0	–	0	+

5. Вертикальных асимптот нет, поскольку функция непрерывна на всей области определения. Выясним наличие наклонной асимптоты y=kx+b:

, . Таким образом, наклонных асимптот нет.

6. Найдем промежутки монотонности функции.

.

	х	(-∞; 0)	0	(0;1)	1	(1;+∞)
	+		–	0	+
у		0		-1

Таким образом , .

7. Найдем промежутки выпуклости и вогнутости графика функции. . Вторая производная положительна (кривая вогнута) при всех x, кроме x=0.

x	(-∞;0)	0	(0;+∞)
	+		+
y	È	0	È

8. Построим график