Математика (стр. 10 )

где:

Векторы 1, 3, А'4 образуют диагональную систему. Следовательно, векторы A1, А3, А4 – базис системы векторов А1, А2, А3, А4, А5.

Разложим теперь векторы А2 и А5 по базису А1, А3, А4. Для этого сначала разложим соответствующие векторы А'2 и А'5 по диагональной системе 1, 3, А'4, имея в виду, что коэффициентами разложения вектора по диагональной системе являются его координаты:

Векторы А2 и А5 разлагаются по базису A1, A3, А4 с теми же коэффициентами, что и векторы А'2 и А'5 по диагональной системе 1, 3, А'4:

7.4. Векторы и матрицы

Произведением m х n-матрицы А на n-мерный вектор К = (k1, k2,..., kn) называется m-мерный вектор AK, равный линейной комбинации столбцов А1, А2, …, Аn матрицы А с коэффициентами k1, k2, ..., kn, т. е.

AK = k1A1 + k2A2 + …+knAn.

Например,

Умножение матрицы А на вектор К производится точно так же, как умножение матрицы А на матрицу, состоящую из одного столбца с элементами k1, k2, ..., kn.

Произведением m-мерного вектора L = (l1, l2, …, lm) на m х n-матрицу А называется n-мерный вектор LA, равный линейной комбинации строк А1, А2, ..., Аm матрицы с коэффициентами l1, l2, ..., lm, т. е.

LA = l1A1 + l2A2+ …+ lmAm.

Например,

.

Умножение вектора L на матрицу А производится точно так же, как умножение матрицы, состоящей из одной строки с элементами l1, l2, …, lm, на матрицу А.

Справедливы следующие равенства (k, l – числа):

1) A(K + L) = AK +AL; 2) A(lK) = l(AK);

3) (K + L)A = KA + LA; 4) (kL)A = k(LA);

5) (LA)K = L(AK).

Столбцы (АВ)i и строки (АВ) j матрицы АВ вычисляются по формулам:

(АВ)i = АВi, (АВ) j = АjВ,

где Вi – i-й столбец матрицы В;

Аj – j-я строка матрицы А.

Ранг матрицы равен рангу системы ее строк, а также рангу системы ее столбцов. Ранг m х n-матрицы А равен рангу системы векторов АК1, АK2, ..., АKn, где К1, К2, … , Кn – линейно независимая система n-мерных векторов.

7.5. Ортогональные системы векторов

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Система векторов называется ортогональной, если векторы этой системы попарно ортогональны. Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

Процессом ортогонализации системы векторов А1, А2, ..., Аm+1 называется построение системы векторов B1, B2, ..., Вm+1 по следующим формулам:

B1 = A1

…………………………….

Справедливы следующие утверждения:

1.  Система векторов В1, В2, ..., Вm+1 является ортогональной.

2.  Если векторы А1, А2, ..., Аm+1 линейно независимы, то В1, В2, ...,Вm+1 – ортогональная система ненулевых векторов.

Система векторов называется ортонормированной, если она ортогональна и векторы системы имеют длину, равную единице.

7.4. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональную систему векторов: А1 = (2, 0, 1, 1), А2 = (1, 2, 0, 1), А3 = (О, 1, –2, 0).

Решение. Полагаем B1 = A1. Затем строим векторы В2 и B3:

;

.

Таким образом, векторы В1 = (2, 0, 1, 1), В2 = (0, 2, , )> В3 = (2/3, –1/3, -4/3, 0) являются результатом ортогонализации данной системы векторов.

7.6. Системы линейных уравнений

Система линейных уравнений:

А1х1 + А2х2 + ... + Аnхn = В

совместна тогда и только тогда, когда ранги систем векторов A1, A2, ..., Аn и A1, A2, ..., Аn, В совпадают.

Совместная система линейных уравнений имеет единственное решение, если ранг системы векторов А1; А2, ..., Аn равен числу неизвестных в системе. Если же ранг этой системы векторов меньше числа неизвестных, то совместная система уравнений имеет бесконечно много решений.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены системы равны нулю.

Каждая однородная система линейных уравнений имеет нулевое решение x1 = х2 = ... = хn = 0 и, значит, совместна. Всякая однородная система линейных уравнений, у которой число уравнений меньше числа неизвестных, имеет ненулевое решение.

Любое решение x1 = k1, х2 = k2, ..., хn = kn системы уравнений с n неизвестными можно рассматривать как n-мерный вектор с координатами k1, k2, ..., kn, а поэтому имеют смысл такие понятия, как линейная комбинация, линейная зависимость решений. Произвольная линейная комбинация решений однородной системы уравнений является решением этой системы.

Линейно независимые решения F1, F2, …, Fk однородной системы уравнений называются фундаментальной системой решений, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений F1, F2, …, Fk.

Если ранг r системы векторов А1, А2, …, Аn меньше числа неизвестных n в однородной системе уравнений:

A1x1+A2x2+...+Anxn = ,

то эта система уравнений имеет фундаментальную систему решений. Линейно независимая система решений F1, F2, ..., Fk однородной системы уравнений будет ее фундаментальной системой решений тогда и только тогда, когда k = n – r.

Если в системе уравнений:

А1х1 + А2х2 + ... + Аnхn = В (7.1)

заменить все свободные члены нулями, то получим однородную систему:

А1х1 + А2х2 + ... + Аnхn = , (7.2)

которую называют приведенной для системы уравнений (7.1).

Произвольное решение X совместной системы уравнений (7.1) опре­деляется формулой:

X = F0 + t1F1 + t2F2 + …+ tmFm, (7.3)

где F0 – какое-нибудь решение системы уравнений (7.1);

F1, F2, …, Fm – фундаментальная система решений системы уравнений (7.2);

t1, t2, ..., tm – произвольные действительные числа.

Формула (7.3) называется общим решением в векторной форме системы уравнений (7.1).

Построение фундаментальной системы решений:

1.  Найти общее решение однородной системы уравнений.

2.  Взять систему n – r линейно независимых (n – r)-мерных векторов. Например, Е1 = (1, 0, ..., 0), Е2 = (0, 1, …, 0), Еn–r = (0, 0, ..., 1).