Математика (стр. 6 )

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.

5. Определитель не изменяется, если к элементам одной из его строк (столбцов) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, т. е.

.

4.5. Вычисление определителей

Если в определителе порядка n имеется столбец (строка), все элементы которого равны нулю, кроме одного, то, разложив определитель по этому столбцу (строке), сведем вычисление определителя n-го порядка к вычислению единственного определителя порядка (n – 1).

Если же в определителе га-го порядка нет столбца (строки), все элементы которого равны нулю, кроме одного, то, используя свойство 5 определителей, можно, не изменяя величины определителя, преобразовать его так, чтобы в выбранном столбце (строке) все элементы, кроме одного, обратились в нуль.

4.5. Вычислить определитель:

a) ; б) .

Решение: а) К третьей строке прибавим первую:

Прибавляя к первой строке удвоенную третью, ко второй – третью, умноженную на –2, а к четвертой строке – третью, умноженную на –2, получим

.

5. МАТРИЦЫ

5.1. Действия с матрицами

Прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов, называется матрицей размера m n:

A = .

Каждый элемент матрицы снабжается двумя индексами: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца, в которых расположен этот элемент.

Две матрицы называются равными, если числа их строк и столбцов равны и если равны элементы, расположенные на соответствующих местах этих матриц.

Если число столбцов матрицы n равно числу ее строк, то матрицу называют квадратной матрицей порядка n. Элементы а11, а22, …,ann квадратной матрицы порядка n образуют ее главную диагональ.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Диагональная матрица называется единичной, если все ее элементы, расположенные на главной диагонали, равны единице.

Сложение матриц и умножение матрицы на число. Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число.

Суммой матриц А и В одинаковых размеров называется матрица, элементы которой равны суммам элементов матриц А и В, расположенных на соответствующих местах:

.

Матрицу А можно умножить на матрицу В только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В результате умножения получится матрица С, у которой столько же строк, сколько их в матрице А, и столько же столбцов, сколько их в матрице В:

,

а элементы cij матрицы С вычисляются по формуле:

,

т. е. для получения элемента cij, расположенного в i-строке и j-м столбце матрицы С, надо элементы i-й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.

5.1. Выполнить следующие действия:

.

Решение:

.

5.2. Найти элемент с32 матрицы АВ = (сij), если

A = ; B =

Решение. Элемент с32 равен сумме произведений элементов третьей строки матрицы А на соответствующие элементы второго столбца матрицы В, т. е.

c32 = (–1)·2 + (–5)·(–1) + 3·(–3) + 11·5 = 49.

5.3. Вычислить произведение матриц:

A = B =

Решение. Так как сомножители имеют размеры Зх4 и 4хЗ, то их произведение определено и имеет размеры 3x3. Следовательно,

AB =

.

5.2. Обратная матрица

Матрица А-1 называется обратной для квадратной матрицы А, если

АА-1 = А-1 А = Е.

Квадратная матрица А имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Квадратная матрица А, определитель которой не равен нулю, имеет единственную обратную матрицу:

A-1 = ,

где – определитель матрицы А;

Aij – алгебраическое дополнение элемента aij матрицы А.

Элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицы называются следующие преобразования:

а) умножение i-й строки (столбца) матрицы на число k 0;

б) прибавление к i-й строке (столбцу) j-й строки (столбца), умноженной на число k;

в) перестановка i-й и j-й строк (столбцов) матрицы.

Алгоритм построения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований строк матрицы:

1. К данной матрице А приписать справа единичную матрицу:

2. С помощью элементарных преобразований объединенной матрицы привести матрицу А к единичной матрице:

.

3. Матрица А-1 имеет вид:

A-1 = .

Обратная матрица позволяет найти решения следующих матричных уравнений:

AX = C, XB = C, AXB = C.

Решением этих уравнений являются соответственно матрицы:

X = A-1C, X = CB-1, X = A-1CB-1,

если А и В имеют обратные матрицы

5.4. Найти матрицу, обратную к матрице:

А = .

Решение. Определитель матрицы А равен 2, т. е. = 2. Алгебраические дополнения ее элементов: А11 = 2; А12 = –4; А21 = –3; А22 = 7. Следовательно:

А-1 = .

5.5. С помощью элементарных преобразований строк найти матрицу, обратную к матрице:

А = .

Решение. Припишем к матрице А справа единичную матрицу и будем выполнять элементарные преобразования строк объединенной матрицы до тех пор, пока матрица А не превратится в единичную:

.