Математика (стр. 3 )

Используем формулу (2.8). Получим

tg 45° = . Далее нужно рассмотреть два случая:

1) 1 = (k + 5/2) / (1 – 5/2k).

1–5/2k=k+5/2,

–3/2=7/2k, k=–3/7, Рис. 2.5

y – 3=–3(x–2)/7,

7y – 21 = –3x+6,;

2) 1 = –(k + 5/2) / (1 – 5/2k),

1 – 5/2k = – k – 5/2,

7/2=3/2k, k=7/3,

y – 3 = 7(x–2)/3, 3y–9 = 7x–14,

Искомые уравнения: 3x+7y–27=0 и 7x – 3y–5=0.

2.5. Издержки перевозки двумя средствами транспорта выражаются функциями у = 150+50х и у = 250+25х, где х – расстояние перевозки в сотнях километров, а у – транспортные расходы в денежных единицах. Определить, начиная с какого расстояния, более экономичным становится второе средство.

Решение. Решив систему уравнений:

найдем точку пересечения прямых. Получаем М(4; 350). Сделаем чертеж (рис. 2.6). Из рисунка видно, что при расстояниях, превышающих 400 км, более экономичны перевозки вторым средством транспорта.

Рис. 2.6

2.2. Плоскость

Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и перпендикулярной вектору = (а, b, с), получается на основе использования скалярного произведения двух векторов. Пусть М(х, у, z) – произвольная точка плоскости (рис. 2.7).

Тогда и по условию перпендикулярности векторов а(х – х0) + b(у – у0) + с(z – z0) = 0. (2.13) Уравнение (2.13) называется уравнением плоскости, проходящей через заданную точку. После раскрытия

Рис. 2.7

скобок в уравнении (2.13) получается уравнение:

ах + by + cz + d = 0, (2.14)

где d = -ах0 – bу0 – сz0. Уравнение (2.14) называется общим уравнением плоскости в пространстве.

Вектор = (а, b, с) называется нормальным вектором плоскости (2.13) или (2.14).

Если плоскость проходит через три точки М(а, 0, 0), N(0, b, 0) и Р(0, 0, с), лежащие на осях координат, то ее уравнение имеет вид:

= 1. (2.15)

Уравнение (2.15) называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Угол, образованный двумя плоскостями, находится по формуле:

, (2.16)

где и – нормальные векторы плоскостей а1x + b1y + c1z + d1 = 0 и а1x + b2y + c2z + d2 = 0.

Условие параллельности плоскостей имеет вид:

. (2.17)

Условием перпендикулярности плоскостей является равенство:

a1а2 + b1b2 + c1c2 = 0. (2.18)

Расстояние от точки М0(х0, у0, z0) до плоскости ах + by +xz + d = 0 определяется по формуле:

(2.19)

2.6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(5; 5; 0) и перпендикулярной вектору = (4; 3; 2).

Решение. Используя уравнение (2.13), получаем:

4(х – 5) + 3(y – 5) + 2(z – 0) = 0, т. е.

4х + 3y + 2z – 35 = 0.

2.7. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; 3; -1) параллельно плоскости 5х – 3y + 2z – 10 = 0.

Решение. Используя уравнение (2.13) и условие, получаем:

а(х – 2) + b(у – 3) + с(z + 1) = 0.

Нормальный вектор искомой плоскости совпадает с нормальным вектором = (5; -3; 2) данной плоскости; следовательно, а = 5, b = –3, с = 2 и уравнение искомой плоскости примет вид:

5(x – 2) – 3(y – 3) + 2(z + 1) = 0, или

5х – 3y + 2z + 1 = 0.

2.8. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М1(0; 2; 0) и М2(2; 0; 0) и образующей угол 60° с плоскостью х = 0.

Решение. Плоскость х = 0 имеет нормальный вектор = (1; 0; 0). Используя точку M1 и уравнение (2.13), запишем уравнение искомой плоскости ах + b(у – 2) + cz = 0 с нормальным вектором = (а, b, с). В это уравнение подставим координаты точки М2: 2а – 2b + 0 · с = 0, т. е. а = b. Возьмем a = 1, b = 1, тогда = (1; 1; с). Используя формулу (2.16), получаем:

, , 1+1+c2 = 4, c2 = 2, .

В итоге получаем искомую плоскость:

х + у + z – 2 = 0 или х + у – z – 2 = 0.

2.9. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(–1; –1; 2) и перпендикулярной плоскостям х–2y+ z – 4 = 0 и x + 2y – 2z + 4 = 0.

Решение. Используя уравнение (2.13), получаем а(х+1)+b(у + 1)+с(z - 2) = 0, где = (а, b, с). Остается найти а, b, с. Нормальные векторы двух данных плоскостей = (1; –2; 1) и = (1; 2; –2). Из условия задачи имеем · = 0 и · = 0, остается решить систему уравнений:

.

Возьмем а = 2, тогда с = 4, а из первого уравнения системы получаем b = 3 Итак, a, b и с найдены. Искомое уравнение имеет вид 2х + 3y + 4z – 3 = 0.

2.3. Прямая в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана двумя пересекающимися плоскостями (рис. 2.8), уравнения которых а1х + b1у + c1z + d1 = 0 и а2х+b2y+c2z+d2= 0. Тогда уравнения прямой будут:

(2.20)

Уравнения (2.20) называются общими уравнениями прямой. Уравнения прямой l, проходящей через точку М0(х0, у0, z0) и параллельной вектору = (m, n, р), получаются на основе условия коллинеарности двух векторов и (рис. 2.9): . (2.21) Уравнения (2.21) называются каноническими уравнениями прямой.	Рис. 2.8
Рис. 2.9.

Вектор = (m, n, р) называется направляющим вектором прямой. Уравнения прямой, проходящей через точки М1(х1, y1, z1) и М2(х2, у2, z2), записываются в виде: