Математика (стр. 1 )

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО

УФИМСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ

ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА

Кафедра «Высшая математика»

МАТЕМАТИКА

Раздел I

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Методические указания для самостоятельного изучения

с контрольными заданиями

УФА – 2007

Составители: ,

УДК 51(076)

М 34

Рецензенты:

, канд. физ.-мат. наук, доцент,

зам. директора по научно-методической работе Уфимского филиала

Оренбургского государственного университета;

, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры

«Экономическая теория и мировая экономика»

Уфимской государственной академии экономики и сервиса

Математика. Раздел I. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: Методические указания по выполнению контрольных работ / Сост.: , . – Уфа: Уфимск. государственная академия экономики и сервиса, 2007. – 56 с.

Изложены основные понятия тем: «Геометрические векторы», «Прямая и плоскость», «Кривые второго порядка», «Комплексные числа», «Определители матриц», «Матрицы» и «Решение систем линейных уравнений».

Даны задания по указанным темам. Приведены контрольные задания и решения типовых задач по дисциплине «Математика».

© , , 2007

© Уфимская государственная академия

экономики и сервиса, 2007

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕКТОРЫ

1.1. Линейные операции над векторами

Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок.

Вектор обозначается двумя буквами с чертой или стрелкой над ними, причем первая буква указывает начало вектора, а вторая – его конец. Вектор может быть обозначен также одной буквой латинского алфавита , . Длину или модуль вектора обозначают в виде , .

Суммой двух векторов и называется третий вектор + , который идет из начала первого вектора в конец второго , если второй вектор выходит из конца первого (рис. 1.1).	Рис. 1.1
Разностью двух векторов и называется третий вектор – , который представляет собой сумму вектора и вектора, противоположного вектору , т. е. – = + (–) (рис. 1.2).	Рис. 1.2

Произведением вектора на число называется вектор, обозначаемый , такой, что:

1) ;

2) векторы и имеют одно направление, если > 0, и противоположное, если < 0.

Если вектор составляет угол с осью Ох, то проекцией вектора на эту ось называется произведение модуля вектора на косинус угла :

прх= .

Проекция суммы векторов и на ось Ох равна сумме проекций этих векторов на эту ось:

прх=прх +прх.

В трехмерном пространстве Охуz вектор может быть представлен разложением по координатному базису в виде:

= x + y + z,

где i, j, k – единичные базисные векторы, направление каждого из которых совпадает с положительным направлением соответствующей оси;

х, у, z – проекции вектора на оси координат.

Длина (модуль) вектора определяется через проекции по формуле:

.

Косинусы углов , , , образованных вектором с осями координат, находятся в виде отношений:

, , .

Они называются направляющими косинусами.

Равенство = (х, у, z) используется для выражения вектора через его проекции на заданные координатные оси.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Условие коллинеарности двух векторов = (х1; у1, z1) и = (х2, y2, z2) записывается в виде:

= ,

где – числовой множитель.

Через координаты это условие записывается в виде:

.

__________

1.1.  На плоскости даны три вектора = 2 , = 3 +3 , = 2 + 6 .

Разложить вектор по векторам и .

Решение. Представим разложение вектора в виде = m + n , где m и n – неизвестные коэффициенты.

Выразим каждый из векторов , , через единичные векторы:

2 + 6 = m·2 + n(3 + 3 ) = (2m + 3n) + Зn .

Откуда 2 = 2m + Зn, 6 = Зn => n = 2, m = – 2.

Значит, = –2 + 2 = 2( – ).

1.2. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов называется произведение их модулей на косинус угла между векторами:

.

Из данного выражения можно найти :

.

Если векторы выражены через координаты в декартовой системе координат = (х1; у1, z1), = (х2, y2, z2), то скалярное произведение определяется как сумма попарных произведений соответствующих координат:

Условием перпендикулярности векторов и является равенство нулю их скалярного произведения:

· = 0, или = 0.