Математика (стр. 5 )

у2 = 2рх.

Уравнение вида:

х2 = 2ру

описывает параболу, симметричную относительно оси Оу.

Фокальный радиус точки М(х, у), т. е. ее расстояние до фокуса на оси Ох, находится по формуле:

r = x+.

Парабола, ось которой параллельна оси Оу, описывается уравнением:

у = ах2 + bх + с.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

4. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

4.1. Комплексные числа

Комплексным числом называется выражение вида z = а + bi, где а и b – действительные числа, a i – символ, который называют мнимой единицей. Два комплексных числа z1 = al + b1i и z2 = а2 + b2i равны, если а1 = а2 и b1 = b2.

Действия над комплексными числами. Правила сложения, умножения и деления комплексных чисел z1 = a1 + b1i и z2 = а2 + b2i:

1) z1 + z2 = (а1 + b1i) + (а2 + b2i) = (a1 + а2) + (b1 + b2)i;

2) z1z2 = (а1а2 – b1b2) + (a1b2 + а2b1)i;

3) если z = а + bi, то = а – bi (комплексное число называется сопряженным для z);

4) .

Тригонометрическая форма комплексного числа. Комплексное число z = а + b можно изобразить точкой М (а, b) плоскости или ее радиус-вектором . Длина этого вектора называется модулем комплексного числа z и обозначается через , т. е. = r а угол между вектором и осью Ох называется аргументом комплексного числа z и обозначается через arg z, т. е. = arg z.

Тогда:

,

где , а – решение системы

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме:

1) ;

2) ;

3) формула Муавра:

, где n – целое число;

4) ,

где k = 0, 1, 2, ..., n – 1.

Корни квадратных и биквадратных уравнений. Корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 с действительными коэффициентами, у которого D = b2 – 4ас < 0, находятся по формулам:

.

Корни биквадратного уравнения х4 + рх2 + q = 0 с действительными коэффициентами, у которого D = р2 – 4q < 0, находятся по формулам:

,

4.1. Выполнить указанные действия:

а) (2 + 3i) + (4 – 7i); б) (1 – i)(3 + 2i); в) .

Решение:

а). (2 + 3i) + (4 – 7i) = (2 + 4) + (3 – 7)i = 6 – 4i;

б) (1 – i)(3 + 2i) = 3 + 2i – 3i – 2i2 = 3 – i + 2 = 5 – i;

в) .

4.2. Определители матриц второго и третьего порядка

Определителем матрицы второго порядка называется число:

.

Определителем матрицы третьего порядка называется число:

. (4.1)

Правая часть формулы (4.1) представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых, каждое из которых является произведением трех элементов, расположенных в разных строках и разных столбцах матрицы. Соединив линией элементы каждого произведения, получим две легко запоминающиеся схемы, которые позволяют определить знаки слагаемых и элементы, входящие в них сомножителями:

4.2. Вычислить определитель матрицы:

Решение. Используя приведенные выше схемы, получаем:

.

4.3. Разложение определителя матрицы по элементам строки и столбца

Минором Mij элемента aij определителя n-го порядка называется определитель (n – 1)-го порядка, который получается в результате вычеркивания в определителе n-го порядка строки и столбца, содержащих элемент aij.

Алгебраическим дополнением Аij элемента аij называется его минор умноженный на (–1)i+j:

Аij = (–1)i+j Mij

Каждый определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т. е.:

, где i = 1, 2, …, n; (4.2)

, где j = 1,2, …, n; (4.3)

Равенства (4.2) и (4.3) называются соответственно разложениями определителя матрицы по элементам i-й строки и j-го столбца. Формулы (4.2) и (4.3) можно использовать для вычисления определителей матриц.

4.3. Найти минор элемента a32 в определителе четвертого порядка.

Решение:

.

4.4. Вычислить определитель, разлагая его по элементам третьего столбца:

.

Решение:

.

4.4. Свойства определителей n-го порядка

Вычисление определителя матрицы с помощью формул разложения по строке или столбцу – достаточно трудоемкое дело. Используя свойства определителя матрицы, можно значительно упростить его вычисление.

Свойства определителя матрицы:

1. При замене каждой строки определителя столбцом с тем же самым номером значение определителя не изменяется, т. е.:

.

2. Общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя, т. е.:

.

3. ,

т. е. если каждый элемент k-го столбца определителя представлен в виде суммы двух слагаемых аik = ik + ik, то этот определитель равен сумме двух определителей, у которых все столбцы, кроме k-го, те же самые, что и в исходном определителе, k-й столбец в первом слагаемом состоит из элементов ik, i = 1, 2, ..., n, а во втором слагаемом – из элементов ik, i = l, 2, ..., n. Аналогичное утверждение справедливо и для строк.