Математика (стр. 9 )

k1 = k2 = … = kn

Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда система уравнений А1х1 + А2х2 + ... + Аnхn = имеет ненулевое решение. Система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда система уравнений А1х1 + А2х2 + ... + Аnхn = имеет только нулевое решение.

Вектор В разлагается по линейно независимой системе А1, А2, ..., Аn тогда и только тогда, когда А1, А2, ..., Аn, В – линейно зависимая система векторов.

Система векторов линейно зависима, если количество координат у векторов системы меньше, чем векторов в системе.

Если каждый вектор системы В1, В2, ..., Вn разлагается по векторам А1 , А2, ..., Аm и n > m, то В1, В2, ..., Вn – линейно зависимая система векторов.

7.2. Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой: А1 = (3, 5, 1, 4), А2 = (–2, 1, -5, -7), А3 = (–1, –2, 0, –1).

Решение. Преобразуем систему линейных уравнений А1х1 + А2х2 + А3х3 = методом Гаусса. Столбец свободных членов системы состоит только из нулей и не изменяется в процессе преобразований, поэтому его можно не записывать. Итак,

x1	x2	x3
3 5 1 4	–2 1 –5 –7	–2 0 –1

	x1	x2	x3
	–3 1 1	2 5 –5 –5	1 0 0 0

	x1	x2	x3
	0 1 0 0	–13 –5 0 0	1 0 0 0

Общее решение исходной системы имеет вид:

Эта система имеет ненулевое решение (5, 1, 13). Следовательно, векторы A1, A2, А3 линейно зависимы.

7.3. Базис и ранг системы векторов

Часть системы векторов называется базисом этой системы, если:

1.  часть является линейно независимой системой векторов;

2.  каждый вектор системы разлагается по векторам части.

Диагональная система векторов является базисом каждой системы, которая содержит ее в качестве части.

Если система уравнений:

А1х1+А2х2 + ... +Аnхn =

является разрешенной, то векторы-коэффициенты при неизвестных, составляющих набор разрешенных неизвестных, образуют диагональную часть системы векторов А1, А2, ..., Аn.

Векторы системы разлагаются по базису этой системы единственным образом.

Каждую линейно независимую часть системы векторов можно дополнить до базиса этой системы.

Все базисы данной системы векторов состоят из одного и того же числа векторов.

Рангом системы векторов называется число векторов в любом ее базисе. Если ранг системы векторов равен r, то каждая линейно независимая часть этой системы, состоящая из r векторов, является ее базисом. Системы векторов называются эквивалентными, если векторы одной системы разлагаются по векторам другой системы и наоборот. Ранги эквивалентных систем равны.

Вектор В тогда и только тогда разлагается по системе векторов А1,А2, ..., Аm, когда ранги систем А1, А2, ..., Аm и А1; А2, ..., Аm, В равны.

Построение базиса системы векторов А1, А2, ..., Аn и разложений векторов по базису:

1.  Рассмотреть систему уравнений А1х1+А2х2 + ... +Аnхn = и найти равносильную ей разрешенную систему уравнений

.

2.  Найти диагональную часть системы векторов 1, 2 , ..., n.

3.  Отметить векторы системы А1, А2, ..., Аn, соответствующие диагональной части системы 1, 2 , ..., n; они образуют базис системы.

4.  Разложить вектор A'j по диагональной части системы 1, 2 , ..., n; вектор A'j, 1 j n, разлагается по базису, найденному в пункте 3, с коэффициентами, которые совпадают с коэффициентами разложения A'j по диагональной части системы 1, 2 , ..., n.

7.3. Найти базис системы векторов и векторы, не входящие в базис, разложить по базису:

A1 = (5, 2,–3, 1), А2 = (4, 1,–2, 3), А3 = (1, 1, –1, –2), А4 = (3, 4, –1, 2), А5 =

(13, 8,–7, 4).

Решение. Рассмотрим систему линейных уравнений A1x1 + А2х2 + А3х3 + А4х4 + + A5x5 = и методом Гаусса найдем разрешенную систему уравнений:

x1	x2	x3	x4	x5
5 2 –3 1	4 1 –2 3	1 –1 –2	3 4 –1 2	13 8 –7 4

	x1	x2	x3	x4	x5
	0 0 1 0	–1 0 1 0	1 0 0 0	–2 1 –3	–2 4 3 –3

	x1	x2	x3	x4	x5
	0 0 1 0	–1 0 1 0	1 0 0 0	0 1 0 0	0 1 2 0

	x1	x2	x3	x4	x5
	5 –3 11	4 –3 2 3	1 0 0 0	3 1 2 8	13 –5 6 30

Разрешенная система уравнений, равносильная исходной, имеет вид: