Математика (стр. 4 )

(2.22)

Параметрические уравнения прямой получаются, если каждое из отношений (2.21) приравнять к параметру t:

(2.23)

Угол между двумя прямыми с направляющими векторами = (m1, n1,p1) и = (m2, n2, р2) определяется по формуле:

. (2.24)

Условие параллельности двух прямых имеет вид:

. (2.25)

Условие перпендикулярности двух прямых записывается в виде:

m1m2 + n1n2 + p1p2 = 0. (2.26)

2.10. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M1(–l; ,2; 3) и М2(2; 6; –2), и найти ее направляющие косинусы.

Решение. Используем уравнения (2.22):

.

При этом направляющий вектор будет = (3; 4; –5). Направляющие косинусы находятся по формулам:

Откуда .

2.4. Прямая и плоскость в пространстве

Угол между прямой и плоскостью ах + by + сz + d = 0 определяется выражением:

. (2.27)

Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид:

am + bn + ср = 0. (2.28)

Условием перпендикулярности прямой и плоскости являются равенства:

. (2.29)

2.11. Написать уравнение плоскости, проходящей через и точку М(3; 4; 5).

Решение. Точка М лежит на искомой плоскости. Следовательно, уравнение искомой плоскости имеет вид а(х – 3) + b(у – 4) + с(z – 5) = 0. Остается найти нормальный вектор = (а, b, с). Точка А(2; 3; 4) лежит на прямой, а значит, и на плоскости. Подставим координаты точки А в уравнение плоскости: – а – b – с =0. С другой стороны, направляющий вектор прямой = (1; 2; 3) перпендикулярен вектору , так как прямая лежит в плоскости. Следовательно, · = 0, а значит, 1 – а + 2 – b + 3 – с = 0. Остается решить систему уравнений:

Получаем b + 2с = 0. Возьмем с = 1, тогда b = –2, а из второго уравнения системы имеем а = 1. Подставляя найденные значения а, b, с в уравнение плоскости, получаем x – 2y +z = 0.

Рис. 2.11

2.12. Найти проекцию точки М(2; 3; 4) на прямую х = у = z (рис. 2.11). Решение. Чтобы свести решение задачи к уже рассмотренным, нужно построить плоскость, проходящую через данную точку М и перпендикулярную данной прямой. Составим параметрические уравнения данной прямой:

х = t, у = t, z = t. Направляющий вектор прямой = (1; 1; 1). Возьмем нормальный вектор плоскости : = = (1; 1; 1). Тогда уравнение плоскости имеет вид 1(х – 2) + 1(y – 3) + 1(z – 4) = 0 или x + y + z – 9 = 0. Получим систему уравнений для определения координат точки М0: х + y + z – –9 = 0, х = t, у = t, z = t. Решив ее, найдем 3t – 9 = 0, t =3, т. е. х = 3, у = 3, z = 3, и искомая точка будет M0(3; 3; 3).

3. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Уравнение второй степени относительно двух переменных:

Ах2 + Вху + Су2 + Dx + Еу + F=0

при разных значениях постоянных коэффициентов А, В, С описывает четыре вида линий на плоскости: окружность, эллипс, гиперболу и параболу. Это уравнение называется общим уравнением кривых второго порядка.

3.1. Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки (центра).

Нормальное уравнение окружности имеет вид:

(х – х0)2 + (у – у0)2 = R2,

где х0, у0 – координаты центра окружности;

R – радиус окружности.

После раскрытия скобок в этом уравнении получается общее уравнение окружности х2 + у2 + Dx + Еу + F = 0, где D = – 2x0, Е = –2у0, F = –х02 – у02 – R2.

3.1. Найти координаты центра и радиус окружности х2+ у2 – 8х+6у –11 = 0. Построить окружность.

Решение. Сгруппируем члены, содержащие переменные х и у, и дополним каждую группу до полного квадрата суммы или разности:

х2 – 8х + 16 – 16 + у2 + 6у + 9 – 9 – 11 = 0, или

(х – 4)2 + (у + З)2 = 36.

Откуда получаем координаты центра С(4; –3) и радиус R = 6. После этого может быть построена окружность.

3.2. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть постоянная величина 2а, бóльшая, чем расстояние между фокусами 2с.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

,

где b2 = а2 – с2, если а > b и фокусы находятся на оси Ох. Параметры а и b называются полуосями эллипса.

Отношение с/а = < 1 называется эксцентриситетом эллипса. Расстояния точки М(х, у) эллипса до его фокусов (фокальные радиусы) находятся по формулам r1 = а – х, r2 = а + х.

3.3. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) есть постоянная величина 2а, причем 2а < 2с, где 2с – расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, имеет вид:

,

где b2 = а2 – с2.

Параметр а называется вещественной полуосью гиперболы и пред­ставляет собой расстояние от начала координат до вершины гиперболы, параметр b называется мнимой полуосью.

Эксцентриситетом гиперболы называется величина  = с/а > 1.

Расстояния текущей точки М(х, у) гиперболы до фокусов (фокальные радиусы) определяются по формулам:

r1 = , r2 = .

Прямые, заданные уравнениями у = ± х, являются асимптотами гиперболы.

3.4. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Каноническое уравнение параболы, проходящей через начало координат и симметричной относительно оси Ох, имеет вид: