Математика (стр. 2 )

Скалярное произведение может быть также представлено в виде:

,

где , – проекции одного из векторов на направление второго вектора.

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1) · =· ;

2) (+ )· =· + · .

Модуль вектора может быть представлен в виде:

,

где – скалярный квадрат вектора , равный · .

2. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ

2.1. Прямая на плоскости

Уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, у0) и перпендикулярной вектору = (а, b), получают на основе использования скалярного произведения двух векторов.

Рис. 2.1

Пусть М(х, у) — произвольная точка прямой l (рис. 2.1). Тогда и по условию перпендикулярности векторов а(х – х0) + b(у – у0) = 0. (2.1) Если в уравнении (2.1) раскрыть скобки, то получится общее уравнение прямой:

ах + by + с = 0, (2.2)

где с = -ах0 – bу0.

Вектор = (а, b) называется нормальным вектором прямой (2.1) или (2.2).

Если b 0, то из общего уравнения прямой:

ах + bу + с = 0 ,

или

, (2.3)

где k = -a/b и = - с/b.

Уравнение (2.3) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Параметр k равен тангенсу угла наклона прямой к оси Ox (k = tg) и называется угловым коэффициентом. Параметр – ордината точки пересечения прямой с осью Оу.

Если b 0, то из уравнения (2.1) получается уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку М0(х0, у0):

y-y0 = k(x-x0), (2.4)

где k = - a/b.

Если даны две точки М1(х1, у1) и М2(x2, y2) лежащие на прямой l, то

k = (y2 – y1)/(x2 – x1) (2.5)

и уравнение прямой принимает вид:

y – y1= . (2.6)

Если прямая проходит через две точки М(а, 0) и N(0, b), лежащие на осях координат, то ее уравнение:

(2.7)

называется уравнением прямой в отрезках на осях.

Угол , отсчитываемый против часовой стрелки от прямой l1 (рис. 2.2), заданной уравнением у = k1x + 1, до прямой l2, заданной уравнением у = k2x + 2, определяется формулой:

. (2.8) Кроме того, для вычисления углов между прямыми (рис. 2.3), заданными уравнениями a1х + b1у + c1 = 0 и a2х + b2у + c2 = 0, справедлива формула	Рис. 2.2
, (2.9) где и	Рис. 2.3

Условие параллельности прямых имеет вид:

k1 = k2, или а1/a2 = b1/b2. (2.10)

Условие перпендикулярности прямых выражается в виде:

k2 = –1/k1 или a1a2 + b1b2 = 0. (2.11)

Чтобы найти точку пересечения непараллельных прямых а1х + b1у + c1 = 0 и a2x + b2y + с2 = 0, нужно решить систему уравнений:

Расстояние от точки М0(x0, у0) до прямой ах + by + с = 0 находится по формуле:

. (2.12)

__________

2.1. Построить прямые: а) х – 2у + 5 = 0; б) 2х + Зу = 0; в) 5х – 2 = 0; г) 2у + 7 = 0.

Решение. а) Полагая в уравнении х = 0, получаем у = 5/2. Следовательно, прямая пересекается с осью ординат в точке В(0; 5/2). Полагая у = 0, получаем х = – 5, т. е. прямая пересекается с осью абсц3исс в точке А(–5; 0). Проводим прямую через точки А и В (рис. 2.4).

Рис. 2.4

б) Прямая 2x + 3y = 0 проходит через точку О(0; 0). Полагая х = 3, имеем 6 + Зy = 0, т. е. у = – 2; получаем точку М(3; –2), лежащую на прямой. Проводим прямую через точки О и М.

в) Разрешив уравнение прямой относительно х, получим х = 2/5. Эта прямая параллельна оси ординат и отсекает на оси абсцисс отрезок, равный 2/5.

г) Выразим уравнение прямой в виде у = –7/2. Эта прямая параллельна оси абсцисс.

2.2. Издержки производства 100 шт. некоторого товара составляют 300 руб., а 500 шт. – 600 руб. Определить издержки производства 400 шт. товара при условии, что функция издержек линейна.

Решение. Используем уравнение (2.6). Даны две точки прямой: M1(100; 300) и М2(500; 600). Подставляя координаты точек M1 и М2 в уравнение (2.6), последовательно получаем:

у – 300 =, у – 300 = .

Если х = 400, то у = 3/4 · 400 + 225 = 525, т. е. искомая величина составляет 525 руб.

2.3. Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и составляющей с осью Ох угол 60°.

Решение. Будем искать уравнение прямой с угловым коэффициентом, т. е. уравнение вида (2.3). Подставляя координаты точки О(0; 0) в уравнение, получим 0 = k · 0 +, т. е. = 0. Но k = tg 60° = . Уравнение данной прямой имеет вид у = х.

2.4. Написать уравнение прямых, проходящих через точку М(2; 3) под углом 45 к прямой 5х+2у=4.

Решение. Искомых прямых будет две. На рис. 2.5 показана данная прямая l и искомые прямые l1 и l2. Будем искать уравнения вида (2.4), т. е. у–у0= k(x – х0). Используя условие задачи, получаем у – 3 = k(x – 2). Остается найти k. Для данной прямой k0 = –а/b = –5/2.