Математика (стр. 8 )

Построение общего решения с помощью формул Крамера:

1.  Выяснить совместность данной системы уравнений, т. е. выяснить, совпадают ли ранги матрицы и расширенной матрицы системы уравнений.

2.  Найти один из миноров матрицы А системы уравнений, порядок которого равен рангу А.

3.  Выписать все уравнения данной системы, которые содержат строки минора М. В этих уравнениях оставить в левых частях только те неизвестные, коэффициенты при которых являются столбцами минора М, а остальные неизвестные перенести в правую часть.

4.  Решить систему уравнений, полученную в пункте 3, по формулам Крамера.

Метод Гаусса состоит из ряда шагов. При выполнении очередного шага используют следующий алгоритм.

Построение общего решения методом Гаусса:

1.  Проверить, имеется ли в системе противоречивое уравнение. Если такое уравнение в системе есть, то она несовместна и не имеет общего решения.

2.  Вычеркнуть все тривиальные уравнения в системе, если они есть.

3.  Выяснить, является ли система уравнений разрешенной. Если она разрешенная, то построить общее решение, выражая разрешенные неизвестные через свободные.

4.  Найти уравнение в системе, не содержащее разрешенного неизвестного. С помощью элементарных преобразований получить в этом уравнении неизвестное с коэффициентом единица, а затем исключить это неизвестное из остальных уравнений системы.

5.  Выполнить следующий шаг, т. е. перейти к выполнению пункта 1. Через конечное число шагов процесс остановится и будет установлена несовместность системы или получено общее решение системы линейных уравнений.

6.2. Исследовать совместность, найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

Решение. 1. Выпишем расширенную матрицу, найдем ее ранг и одновременно ранг матрицы системы уравнений:

Итак, ранги матрицы и расширенной матрицы совпадают и равны 2. Следовательно, система совместна

2. Выберем минор М = , составленный из коэффициентов при неизвестных x1 и х2 первого и третьего уравнений. Этот минор отличен от нуля и его порядок равен рангу матрицы системы.

3. Выпишем первое и третье уравнения данной системы, которые содержат строки минора М:

В этих уравнениях оставим в левой части неизвестные х1 и х2, коэффициенты при которых являются столбцами минора М, а остальные неизвестные перенесем в правую часть:

4. Решим полученную систему по формулам Крамера:

Теперь имеем:

– общее решение данной системы

Неизвестные х3 и х4 – свободные неизвестные. Если положить х3 = 1, х4 = 0, то из общего решения находим x1 = 3, х2 = –1. Следовательно, x1 = 3, x2 = –1, х3 = 1, х4 = 0 – частное решение исходной системы уравнений.

7. СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ И УРАВНЕНИЙ

Система линейных уравнений:

в векторной форме имеет вид:

А1x1 + А2х2 + ... +Аnхn = В,

где А1 = , A2 = , …., An = , B = – столбцы коэффициентов при неизвестных х1, х2, ..., хn и столбец свободных членов.

Последовательность чисел k1, k2, ..., kn является решением системы уравнений тогда и только тогда, когда справедливо векторное равенство

А1k1 + A2k2 + ... + Ankn = В.

7.1. Разложение вектора по системе векторов

Вектор k1А1 + k2А2 + ... + knАn называется линейной комбинацией векторов А1, А2, ..., Аn с коэффициентами k1, k2, ..., kn.

Вектор В линейно выражается через векторы А1, А2, Аn, если

B = k1А1 + k2A2 + ... + knAn

В этом случае говорят также, что В разлагается по векторам А1, А2, ..., Аn. Каждый n-мерный вектор В = (b1, b2, ..., bn) разлагается по диагональной системе:

E1 = (1, 0, …, 0),

E2 = (0, 1, …, 0),

………………

En = (0, 0, …, 1)

с коэффициентами, которые равны координатам вектора В:

В = b1Е1 + b2Е2 + bnEn.

Разложения вектора В по системе А1, А2, ..., An

B = k1A1 + k2A2 + ... + knАn,

B = l1A1 + l2A2 + ... + lnАn,

называются различными, если ki = li, хотя бы при одном значении i, 1 i n.

Чтобы найти разложение вектора В по системе векторов А1, А2, ...,Аn достаточно найти какое-нибудь решение системы уравнений:

A1x1 + А2х2 + ... + Аnхn = В.

7.1. Выяснить, разлагается ли вектор В по системе векторов А1, А2, ...,Аn:

В = (2, 7, 17, 0), А1 = (2, 4, 3, 0), А2 = (–3, 0, 1, 3), А3 = (1, –1, 10, –3).

Решение. Найдем общее решение системы уравнений:

A1x1 + А2х2 + ... + А3х3 = В.

методом Гаусса:

x1	x2	x3	b
2 4 3 0	–3 0 1 3	–1 10 –3	2 7 17 0

x1	x2	x3	b
2 6 –17 6	–3 31 6	1 0 0 0	2 9 –3 6

	x1	x2	x3	b
	–4 –2 –60	0 1 0 0	1 0 0 0	–7 –3 90 –12

x1	x2	x3	b
0 0 1 0	0 1 0 0	1 0 0 0	1 1 2 0

Исходная система равносильна системе х3 =1, х2 = 1, х1 = 2, которая имеет единственное решение 2,1,1. Следовательно, В = 2A1 + А2 + А3.

7.2. Линейная зависимость

Система векторов А1, А2, ..., Аn называется линейно зависимой, если можно подобрать такие числа k1, k2, ..., kn, не все равные нулю, что

k1A1 + k2A2 + … + knAn = , где = (0, 0, ..., 0).

Система векторов A1,A2, ...,An называется линейно независимой, если, из каждого соотношения вида k1A1 + k2A2 + … + knAn = следует: