Случайные события. Вероятность (стр. 11 )

 

Рис. 1.4.5. К примеру 1.4.4

Очевидно, , , поэтому .►

Контрольные вопросы

1. Какой случайный опыт называют геометрической схемой?

2. Какое условие геометрической схемы аналогично требованию равновозможности элементарных исходов в классической схеме?

3. Приведите определение геометрической вероятности.

4. Какими основными свойствами обладает геометрическая вероятность?

5. Перечислите основные шаги нахождения вероятности в геометрической схеме.

Задание для самостоятельной работы

1. Решите задачи: [1], №№ 18.142 - 18.145, 18.150, 18.151, 18.154 – 18.156.

1.5. Аксиоматическое определение вероятности

Напомним, что классическое определение вероятности относится к пространствам элементарных исходов , состоящим из конечного числа равновозможных элементов. Геометрическое определение – к пространствам , представляющим собой области, имеющие в зависимости от длину, площадь, объём или обобщённый объём, т. е. являющиеся измеримыми. В качестве событий в геометрической схеме рассматриваются также измеримые подмножества из .

Аксиоматическое определение, сохраняя основные свойства вероятности, подмеченные в рамках классической и геометрической схем, позволяет ввести это понятие для пространств элементарных исходов произвольной природы.

Предположим, что вероятности событий, соответствующих данному случайному опыту определены. Это означает, что каждому случайному событию поставлено в соответствие число - его вероятность, т. е. на множестве событий, соответствующих данному опыту, задана функция . Для того, чтобы наряду с событиями вероятность была определена и для событий , , , , , а также для событий и , все эти события должны принадлежать множеству , т. е. множество должно быть алгеброй событий.

Если пространство элементарных исходов – конечно, то алгеброй событий будет множество всех его подмножеств, включая пустое множество.

Пример 1.5.1.

На четырёх карточках написано по одному из чисел 1, 2, 3 и 4. Опыт состоит в случайном выборе одной из этих карточек и наблюдении написанного на ней числа.

Пространство элементарных исходов в этом опыте , где {на выбранной карточке написано число }, .

Алгебра событий состоит из всех подмножеств пространства :

,

, , , ,

, , , , , ,

, , , ,

.

Итак, пусть - алгебра событий, образованная на пространстве элементарных исходов . Предположим, что каждому элементу (событию) поставлено в соответствие число , т. е. на определена числовая функция . Эту функцию называют вероятностью, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

1. (аксиома неотрицательности);

2. (аксиома нормированности);

3. для любых несовместных событий и (аксиома сложения).

Тройка , т. е. пространство элементарных событий с образованной на нём алгеброй событий и введённой на вероятностью , называется вероятностным пространством.

Замечания

1. Аксиомы 1 – 3 постулируют основные свойства классической и геометрической вероятности, определяющие и все другие её свойства. Поэтому можно говорить об общих свойствах вероятности, независимо от того, как она определена.

2. Для дальнейшего развития теории вероятностей аксиому 3 формулируют в обобщённом виде:

для любых попарно несовместных событий (расширенная аксиома сложения).

Кроме того, обобщается и понятие алгебры событий, но на этом мы не останавливаемся.

3. Если пространство элементарных исходов конечно или счётно, то вероятность можно ввести следующим образом. Припишем каждому элементарному исходу вероятность так, чтобы . Тогда для любого события в силу расширенной аксиомы сложения вероятность будет равна .