Случайные события. Вероятность (стр. 2 )

1.1.4. На шахматную доску ставят случайным образом две ладьи – белую и чёрную и наблюдают полученную расстановку этих фигур.

1.1.5. То же, что и в 1.1.4., но обе ладьи белые и по условиям опыта нет возможности их различить.

1.1.6. Три студента случайным образом становятся в очередь за учебниками.

Ответы к упражнениям

1.1.1. а) {сумма очков больше 3}; в) .

1.1.2. в) .

1.1.3. в) .

1.1.4. в) .

1.1.5. в) .

1.1.6. в) .

1.2. Случайные события, действия над ними

Любое подмножество пространства элементарных исходов будем называть случайным событием. Заметим, что при математически строгом подходе это определение должно быть уточнено, если не является конечным или счётным множеством. Однако такое уточнение необходимо лишь для построения теории вероятностей как раздела современной математики, оперирующей логически безупречными, но зачастую сложными для неподготовленного читателя понятиями. К тому же подмножества пространства , не являющиеся, строго говоря, событиями, представляют собой чистую математическую абстракцию и не встречаются в практических задачах. Поэтому в дальнейшем любое подмножество из мы будем рассматривать как случайное событие или просто событие.

Считается, что событие произошло (наступило, реализовалось), если результатом случайного опыта явился какой-либо из элементарных исходов, входящих в подмножество .

Пример 1.2.1.

В примере 1.2.1 показано, что при бросании одной игральной кости . Рассмотрим события: {выпало 3 очка}, {число очков кратно трём}, {число очков нечётно}, {число очков не меньше двух}.

◄Очевидно, , , ,

.►

Пример 1.2.2.

В примере 1.1.4 рассмотрен опыт, связанный со стрельбой по бесконечной плоской мишени. В этом случае пространство элементарных исходов . Введём декартову прямоугольную систему координат с началом в центре мишени и единицей масштаба по осям 1 см. Тогда событие {расстояние от точки попадания до центра мишени не превосходит 10 см} представляет собой подмножество пространства .

Задание для самостоятельной работы

1. Решите задачи: [1], №№ 18.1 – 18.8.

Опишем основные понятия, связанные со случайными событиями.

Для иллюстрации этих понятий будем использовать события, соответствующие случайному опыту из примера 1.2.1 (бросание одной правильной шестигранной игральной кости). В этом случае элементарными являются исходы {выпало очков}, .

1. Событие , состоящее из всех элементарных исходов, соответствующих данному случайному опыту, называется достоверным событием. Таким образом, достоверное событие обязательно происходит в данном опыте.

.

2. Событие , не содержащее ни одного элементарного исхода, называется невозможным событием. Очевидно, невозможное событие никогда не происходит в данном опыте.

{выпало 10 очков}= – невозможное событие, т. к. не существует элементарных исходов данного опыта, приводящих к появлению события А.

3. Событие влечёт за собой событие (обозначение: ), если любой элементарный исход, входящий в , принадлежит и событию . Таким образом, если , то при каждом появлении события происходит и событие .

Если и , то и называют эквивалентными событиями и пишут .

, {выпало нечётное число очков}=.

4. Суммой событий и называется событие , состоящее из тех элементарных исходов, которые входят хотя бы в одно из подмножеств или . Итак, событие происходит тогда и только тогда, когда появляется хотя бы одно из событий или В.

, .

5. Произведением событий и называется событие , состоящее из тех и только тех элементарных исходов, которые принадлежат и подмножеству , и подмножеству , т. е. событие происходит тогда и только тогда, когда события и появляются вместе.

, .

6. Разностью событий и называется событие , состоящее из тех элементарных исходов, которые входят в подмножество , но не принадлежат подмножеству . Таким образом, событие происходит тогда и только тогда, когда происходит событие , но не происходит событие .

, .

7. События и называются несовместными событиями, если не существует элементарных исходов, принадлежащих подмножествам и одновременно. Другими словами, события и несовместны, если их одновременное появление невозможно, т. е. . В противном случае события и называют совместными.