Случайные события. Вероятность (стр. 3 )

, и несовместны, .

8. Событие , состоящее из всех элементарных исходов, не входящих в подмножество , называют противоположным к событию. Таким образом, есть событие, состоящее в том, что событие не произошло.

.

Для наглядного представления множеств и событий используют диаграммы Венна. На них пространство изображается в виде прямоугольника, в котором каждая точка соответствует элементарному исходу. События (подмножества) изображаются в виде областей этого прямоугольника.

Таблица 1.2.1

Наименование операции	Для множеств	Для событий	Диаграмма Венна
АÌВ - отношение следования	Множество А есть подмножество множества В	Событие А влечет за собой событие В: если произошло А, то появляется и В
А+В - сумма	АÈВ–объединение множеств А и В	Сумма событий - произошло хотя бы одно из событий А или В
АВ – произведение	AÇB - пересечение множеств А и В	Произведение событий - события А и В произошли вместе
А-В - разность	A \ B - разность множеств А и В	Разность cобытий - произошло событие А, но не произошло В
- отрицание	дополнение множества А до пространства	Противоположное событие - событие А не произошло

Предположим, что опыт состоит в случайном выборе точки в прямоугольнике. Тогда, если выбранная точка попадает в изображённую на диаграмме область, то происходит соответствующее событие. Соответствие некоторых операций над событиями и множествами показано в табл. 1.2.1.

Рассмотрим свойства операций над событиями.

1. Коммутативность сложения и умножения:

; .

2. Ассоциативность сложения и умножения:

; .

3. Дистрибутивность:

а) умножения относительно сложения

; (1.2.1)

б) сложения относительно умножения

. (1.2.2)

Свойство (1.2.1) позволяет «раскрывать скобки», как в обычной алгебре действительных чисел, а из (1.2.2) следует, что свойства операций сложения и умножения для чисел и событий различаются.

Пример 1.2.3.

Докажем соотношение (1.2.1).

◄Пусть элементарный исход . Это означает, что и принадлежит хотя бы одному из событий или . Поэтому принадлежит хотя бы одному из событий или , т. е. . В силу произвольности это означает, что

. (1.2.3)

Предположим теперь, что . Тогда и, кроме того, принадлежит хотя бы одному из событий или , т. е. принадлежит сумме . Это значит, что и, в силу произвольности исхода , получаем:

. (1.2.4)

Из соотношений (1.2.3) и (1.2.4) следует (1.2.1).►

Упражнения

1.2.1. Убедитесь с помощью определений, что:

а) ;

б) ;

в) .

1.2.2. Докажите простейшие законы поглощения:

; ; = ; =; ; .

1.2.3. Пусть . Означает ли это, что ? Ответ обосновать.

1.2.4. Верны ли соотношения:

а) ;

б) ? Ответ обоснуйте.

1.2.5. Докажите правила де Моргана:

а) (отрицание суммы есть произведение отрицаний);

б) (отрицание произведения есть сумма отрицаний).

1.2.6. Используя результат упражнения 1.2.5, докажите правила де Моргана для трёх событий:

а) ;

б) .

Замечание. Методом математической индукции можно доказать правила де Моргана для любого конечного числа событий:

(1.2.5)

1.2.7. Проиллюстрируйте диаграммами Венна:

а) свойства дистрибутивности (1.2.1) и (1.2.2);

б) правила де Моргена для двух событий.

Пример 1.2.4.

Докажем дистрибутивность сложения относительно умножения (1.2.2).

◄Преобразуем левую часть соотношения (1.2.2) используя (1.2.1):

, что и требовалось доказать.►