Случайные события. Вероятность (стр. 4 )

Пример 1.2.5.

Докажем, что , т. е. вычитание событий не является ассоциативной операцией.

◄Преобразуем левую часть этого соотношения с учётом (1.2.2): .►

Пример 1.2.6.

Пусть . Покажем, что тогда .

◄Из условия следует, что (убедитесь!). Поэтому .►

Пример 1.2.7.

Покажем, что если , то .

◄Пусть элементарный исход . Тогда по определению произведения событий , поэтому .

Далее, если , то при условии имеем: , т. е. , откуда следует, что .

Итак, и , значит .►

Упражнения

1.2.8. Покажите, что если , то .

1.2.9. Доказать: если , то .

1.2.10. Доказать, что если если , то .

Замечание: из примера 1.2.6 и упражнений 1.2.7 – 1.2.9 получаем важный результат:

;

1.2.11. Доказать: если , то .

1.2.12. Доказать, что .

Ответы к упражнениям

1.2.3. Нет.

1.2.4. Нет.

Контрольные вопросы

1. Что называют пространством элементарных исходов?

2. Что называется случайным событием?

3. Какие события называются достоверным событием и невозможным событием?

4. В каких случаях говорят, что событие влечёт за собой событие и что события и эквивалентны?

5. Перечислите известные Вам алгебраические операции над случайными событиями и сформулируйте определения этих операций.

6. Какие два события называют несовместными?

7. Какие события называются противоположными?

8. Перечислите известные Вам свойства операций над событиями.

9. Обладает ли вычитание событий свойствами коммутативности и ассоциативности?

1.3. Классическое определение вероятности

Вероятность случайного события – это мера возможности его появления в данном опыте. Если принять и , то получим: , хотя возможен и другой масштаб измерения вероятности.

В современной математике вероятность вводится аксиоматически. Но прежде, чем перейти к аксиоматическому определению, рассмотрим другие определения, которые возникли раньше.

Предположим, что пространство элементарных исходов состоит из конечного числа исходов и все они равновозможны.

События в случайном опыте называют равновозможными, если по условиям этого опыта ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие. Например, равновозможными являются элементарные исходы опытов, связанных с подбрасыванием монеты, игральной кости, с извлечением одной карты из колоды карт и т. д.

Опыт, удовлетворяющий условиям: а) пространство его элементарных исходов конечно; б) элементарные исходы равновозможны, называют классической схемой.

Пусть - общее число элементарных исходов в пространстве , а - число элементарных исходов, образующих событие . Ещё называют числом исходов, благоприятствующих событию . Тогда вероятностью события . называют отношение числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу исходов:

. (1.3.1)

Это определение принято называть классическим определением вероятности.

Пример 1.3.1.

Из 30 вопросов зачёта студент изучил 25. С какой вероятностью при случайном выборе вопроса этот студент получит «хороший» вопрос?

◄В данном случае , , поэтому .►

Из определения легко выводятся свойства классической вероятности:

1. для любого события .

2. .

3. для любых несовместных событий ( ).

Оказывается, что эти свойства классической вероятности являются основными, из них следуют другие важные свойства, например,

,

,

, при

и другие.

При использовании формулы (1.3.1) для подсчёта вероятностей важно следить за тем, чтобы все элементарные исходы опыта были равновозможными, иначе возможны ошибки.

Пример 1.3.2.

Каждая из цифр 1, 2, 3 и 4 записана на отдельной карточке. Опыт состоит в случайном последовательном выборе двух из этих карточек и фиксации написанных на них цифр. При этом карточка, извлечённая из стопки первой, возвращается в стопку перед извлечением второй карточки. По условиям опыта:

а) порядок, в котором были извлечены карточки, фиксируется, т. е. случайными результатами опыта являются упорядоченные пары цифр , ;

б) Порядок извлечения карточек не фиксируется, так что результатами опыта являются неупорядоченные пары цифр , .