Случайные события. Вероятность (стр. 12 )

Заметим, что вероятности элементарных исходов можно задавать произвольно, лишь бы выполнялись условия и . Поэтому вероятность вводится неоднозначно, т. е. аксиомы вероятности определяют не единственным образом. Это позволяет рассматривать различные варианты случайных опытов с совпадающими пространствами элементарных исходов.

Пример 1.5.2.

Введём вероятность для двух вариантов опыта со случайным выбором одного из чисел: 1, 2, 3 и 4, см. пример 1.5.1.

а) Опыт проводится в точности, как описано в примере 1.5.1.

б) Вместо четырёх, используются 6 карточек. На двух из них написано число 1, ещё на двух – число 3, а числа 2 и 4 записаны на одной карточке каждое.

◄Пространство элементарных исходов опыта в обоих его вариантах одно и то же: , {выбрано число }, . Все события, соответствующие этому пространству (множество всех подмножеств , алгебра событий ) перечислены в примере 1.5.1. Определим их вероятности для вариантов а) и б) случайного опыта.

а) В этом случае элементарные исходы равновозможны: , , поэтому вероятность вводится следующим образом:

,

, , , ,

, , , , , ,

, , , ,

.

б) В данном случае вероятности элементарных исходов равны: , , , , поэтому

,

, , , ,

, , , , , ,

, , , ,

.►

Из трёх главных свойств вероятности (аксиомы 1 – 3) вытекают другие важные свойства:

1. Вероятность противоположного события

(1.5.1)

2. Вероятность невозможного события

(1.5.2)

3. Если , то

(1.5.3)

4. Вероятность заключена между 0 и 1:

(1.5.4)

5. Вероятность суммы событий:

(1.5.5)

Пример 1.5.3.

Докажем свойство (2.3.3).

◄Пусть . Тогда (см. упражнение 1.2.11) . Поскольку события и несовместны, из аксиомы сложения получаем: . Поскольку (согласно аксиоме неотрицательности) , выполняется неравенство (1.5.3).►

Пример 2.3.4.

Докажем формулу (1.5.5).

◄Справедливы соотношения: (см. пример 1.2.4) и (упражнение 1.2.12). Слагаемые в правой части каждого из них - несовместные события. Поэтому из аксиомы сложения получаем: , . Подставив в первое из этих равенств вероятность , выраженную из второго равенства, получим (1.5.5).►

Упражнения

1.5.1. Два набора карточек, использовавшиеся в опытах по случайному выбору числа (пример 2.3.2, варианты опыта а) и б) соответственно) объединили в один набор (10 карточек) для проведения аналогичного опыта.

Введите вероятность для данного варианта случайного опыта.

1.5.2. Докажите равенство (1.5.1).

1.5.3. Докажите равенство (1.5.2)

1.5.4. Обоснуйте неравенства (1.5.4).

1.5.5. Обобщите формулу (1.5.5) на случай трёх событий.

Ответы к упражнениям

1.5.1. , , , ; , , , , ; , , , , , ; , , , ; .

1.5.5. .

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте аксиомы вероятности.

2. Как можно ввести вероятность в случае конечного или счётного пространства элементарных исходов?

3. Перечислите свойства вероятности, вытекающие из аксиом вероятности.

Задание для самостоятельной работы

1. Решите задачи: [ ], №№ 18.57 - 18.59, 18.61, 18.62.

2. Ознакомьтесь с теоретическим материалом: [2], с. 5 – 14/