Случайные события. Вероятность (стр. 9 )

Под мерой множества будем понимать длину, площадь, объём или обобщённый объём в зависимости от .

Будем считать, что пространство элементарных исходов случайного опыта имеет конечную меру и точки (элементарные исходы) в этом опыте выбираются так, что вероятность попадания в любое измеримое множество пропорциональна и не зависит от формы и расположения в пространстве (последнее условие аналогично требованию о равновозможности элементарных исходов в классической схеме). Такой опыт называют геометрической схемой.

Итак, пусть случайный опыт представляет собой геометрическую схему и событие есть измеримое подмножество пространства . Тогда вероятностью события называют число

. (1.4.1)

Это определение называют геометрическим определением вероятности, а вероятность (1.4.1) – геометрической вероятностью.

Легко убедиться в том, что геометрическая вероятность обладает теми же основными свойствами, что и классическая вероятность:

1. для любого события .

2. .

3. для любых несовместных событий ( ).

Пример 1.4.1.

Точное значение физической величины округляют до ближайшего целого числа. Найти вероятность того, что абсолютная величина ошибки округления не превысит 0,1 (событие ).

◄При округлении точного значения до ближайшего целого возникает случайная ошибка , величина которой лежит в диапазоне от –0,5 до +0,5. Таким образом, опыт состоит в случайном выборе числа из этого диапазона, соответствующий элементарный исход . Поэтому пространство элементарных исходов .

Событие , согласно условию задачи, это множество .

Рис. 1.4.1. К примеру 1.4.1.

Пространство и множество показаны на рис. 1.4.1. В данном случае мерой множества является его длина, поэтому .►

Пример 1.4.2.

К причалу для высадки пассажиров в течение ближайшего часа в случайные моменты времени должны подойти два катера. Одновременное причаливание обоих катеров невозможно. Время высадки пассажиров с первого катера составляет 10 мин, а со второго катера – 20 мин.

Найти вероятность того, что одному из катеров придётся ожидать освобождения причала (событие ).

◄Обозначим время прихода первого катера через , а второго – через . Тогда опыт можно представить как случайный выбор упорядоченной пары чисел , т. е. элементарными исходами являются точки пространства (плоскости). Если выбрать в качестве единицы измерения времени 1 мин, то пространством элементарных исходов будет множество . Очевидно, это квадрат со стороной 60 (рис. 1.4.2).

 

Рис. 1.4.2. К примеру 1.4.2

Событие произойдёт в любом из следующих случаев:

а) первый катер прибудет не позднее второго () и при этом к моменту прихода второго катера высадка с первого катера ещё не закончится (), т. е. если ;

б) второй катер придёт раньше, т. е. и к прибытию первого катера высадка пассажиров на втором ещё не закончится: , т. е. если .

Таким образом, условие появления события описывается соотношениями , поэтому . Область на рис 1.4.2 заштрихована.

В данном случае мера множества – это площадь. Площадь области на рис. 1.4.2 равна площади квадрата без двух угловых треугольников поэтому , и .►

Пример 1.4.3.

По дороге в институт студент едет последовательно на трёх автобусах разных маршрутов. Интервалы движения автобусов на этих маршрутах совпадают и равны мин.