Случайные события. Вероятность (стр. 5 )

Рассмотрим пространства элементарных исходов этого опыта.

◄а) {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)}, . Элементарные исходы являются равновозможными.

б) {(1 1), (1 2), (1 3), (1 4), (2 2), (2 3), (2 4), (3 3), (3 4), (4 4)}, . В данном случае элементарные исходы не равновозможны. Например, исход (2 1) более вероятен, чем (1 1). Это можно объяснить тем, что первый из этих исходов может появиться двумя способами: (1,2) или (2,1), а второй - только одним способом.►

Пример 1.3.3.

В опыт, описанном в примере 1.3.2, внесено изменение: карточка, извлечённая первой, не возвращается в стопку перед вторым извлечением. Рассмотрим пространства , соответствующие этому опыту.

◄а) (порядок цифр учитывается).{(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)}, . Перечисленные элементарные исходы являются равновозможными.

б) (порядок цифр не учитывается). {(1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4)}, . Эти элементарные исходы также являются равновозможными.►

Замечание.

В примере 1.3.2 рассмотрен частный случай опытов, состоящих в последовательном случайном выборе элементов из заданного множества (в данном случае – цифр) с возвращением. В таких опытах элементарные исходы оказываются равновозможными только тогда, когда учитывается порядок выбора элементов (случай а) из примера 1.3.2). Поэтому применять формулу классической вероятности (1.3.1) в таких случаях (выбор с возвращением) можно только при учёте порядка, в котором выбираются элементы, иначе мы получим неверный результат.

Пример 1.3.4.

Найти вероятность события {сумма цифр на выбранных карточках не меньше 6} в опыте, описанном в примере 1.3.2.

◄Формула классической вероятности применима только при учёте порядка цифр в паре (случай а)). Тогда , {(2,4), (3,3), (3,4), (4,2), (4,3), (4,4)}, т. е. , поэтому по формуле (2.1.1) находим: .

Если не учитывать порядок цифр (случай б) примера 2.1.2), то получим ошибочный результат: , {(2 4), (3 3), (3 4), (4 4)}, , ►.

Замечание.

В своей книжке «Об открытиях, совершённых при игре в кости» Галлилей описал следующий парадокс. При бросании двух правильных игральных костей сумму очков, равную как 9, так и 10, можно получить двумя способами: 9=3+6=4+5; 10=4+6=5+5. Почему же тогда сумма 9 получается чаще, чем 10?

Объяснение парадокса состоит в том, что необходимо учитывать порядок выпадения очков на костях. Тогда 9=3+6=6+3=4+5=5+4; 10=4+6=6+4=5+5, т. е. сумму 9 можно получить четырьмя, а сумму 10 – только тремя способами, поэтому шансы у суммы 9 предпочтительнее.

Следует отметить, что при рассмотрении подобных вопросов ошибались даже такие великие математики, как Лейбниц и Даламбер. Так, однажды у Даламбера спросили, с какой вероятностью монета, брошенная дважды, хотя бы один раз выпадет гербом. Ответ учёного был , т. к. он считал, что есть 3 возможных исхода (герб-герб, герб-решка, решка-решка) и среди них 2 благоприятствующих. Даламбер пренебрегал тем, что эти три возможных исхода не равновозможны. Правильным ответом является , поскольку из четырёх равновозможных исходов (герб-герб, герб-решка, решка-герб, решка-решка) три благоприятствуют указанному событию. Точка зрения Даламбера была даже опубликована во Французской энциклопедии в 1754 г. в статье «Герб и решётка» (“Croix on pile”).

Пример 1.3.5.

Найти вероятность события {сумма цифр на выбранных карточках не меньше 6} в опыте, описанном в примере 1.3.3 (выбор без возвращения).

◄Поскольку обоим вариантам опыта (с учётом и без учёта порядка) соответствуют пространства равновозможных элементарных исходов (см. пример 1.3.3), то можно ожидать, что применение формулы (1.3.1) в случаях а) и б) даст одинаковый результат.

а) ; {(2,4), (3,4), (4,2), (4,3)}, т. е. и .

б) ; {(2 4), (3 4)}; ; .

Таким образом, как и ожидалось, вероятность оказалась одной и той же как при учёте порядка элементов (цифр), так и без его учёта.►

Замечание.

Итак, в опыте, описанном в примере 1.3.2 (выбор с возвращением), элементарные исходы получаются равновозможными только если учитывается порядок элементов, а в опыте из примера 1.3.3 (выбор без возвращения) элементарные исходы равновозможны независимо от того, учитывается ли порядок элементов.

Этот вывод сохраняет силу и в большинстве других подобных ситуаций, возникающих при использовании классического подхода к вероятности. А именно: в опытах по случайному выбору с возвращением определённого числа элементов из заданного конечного множества следует учитывать порядок элементов. Если же случайный выбор производится без возвращения, то порядок элементов можно учитывать или не учитывать. Обычно в таких случаях порядок не учитывают. Однако если описание случайного события включает в себя учёт порядка элементов, то этот порядок следует учитывать.

Пример 1.3.6.

Найти вероятность события {число, составленное из цифр, записанных на выбранных карточках в порядке их извлечения, превосходит 40} в опыте, описанном в примере 1.3.3.

◄Опыт из примера 1.3.3 состоит в выборе двух цифр из четырёх без возвращения. Поэтому, как представляется с первого взгляда, порядок выбранных цифр можно не учитывать. Однако в данном случае событие таково, что его появление зависит, вообще говоря, от того, в каком порядке выбраны одни и те же цифры. Например, если (4,1), то происходит, а если (1,4), то нет. Поэтому необходимо учитывать порядок (случай а) примера 1.3.3). Тогда ; {(4,1), (4,2), (4,3)}, ; ►.

Замечание

Предположим, что при определении общего числа равновозможных исходов по той или иной причине порядок элементов учитывается. Тогда, очевидно, при подсчёте числа благоприятствующих исходов порядок также следует учитывать. И наоборот, если порядок не учитывается, то это должно соблюдаться при нахождении и , и . При решении задач по классической схеме часто допускают ошибку, состоящую в том, что при подсчёте чисел и используются разные подходы.