Случайные события. Вероятность (стр. 6 )

Пример 1.3.7.

Для опыта, описанного в примере 1.3.3 (выбор двух цифр из четырёх без возвращения) найти вероятность событий {сумма цифр не меньше 6} и {число, составленное из цифр в порядке их выбора, превосходит 40}.

◄Предположим, что мы решили сначала найти . Тогда по соображениям, изложенным в решении примера 1.3.6, порядок цифр следует учитывать, поэтому , , (см. пример 1.3.6).

Далее, находя , мы можем ошибочно рассуждать так. Поскольку событие связано с тем же опытом, общее число элементарных исходов остаётся неизменным: . А при нахождении будем считать, что порядок цифр не важен, т. к. опыт состоит в выборе цифр без возвращения и появление события не зависит от порядка цифр. Тогда {(2 4), (3 4)}, , .

Правильное решение: при нахождении общего числа исходов мы учитывали порядок цифр (не важно, по какой причине). Поэтому порядок цифр необходимо учитывать и при подсчёте числа благоприятствующих исходов: {(2,4), (3,4), (4,2), (4,3)}, т. е. . Окончательно, , см также пример 1.3.5.►

Упражнения

1.3.1. Из урны, в которой лежат белых и чёрных шаров, наудачу выбирают один шар. Найти вероятность того, что этот шар - белый.

1.3.2. Из урны, в которой лежат белых и чёрных шаров, наудачу выбирают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. Затем из урны выбирают второй шар. Найти вероятность того, что и этот шар - белый.

1.3.3. Из урны, в которой лежат белых и чёрных шаров, наудачу выбирают один шар и, не глядя, откладывают его в сторону. Затем из урны выбирают второй шар. Он оказался белым. Найти вероятность того, что и первый шар, извлечённый из урны, - белый.

1.3.4. Из урны, в которой лежат белых и чёрных шаров, наудачу выбирают без возвращения один за другим все шары, кроме одного. Найти вероятность того, что этот, оставшийся в урне шар, - белый.

1.3.5. Игральную кость подбрасывают один раз. Найти вероятности следующих событий: {появление чётного числа очков}, {появление числа очков, большего 5}, {появление не более 5 очков}.

1.3.6. Игральную кость подбрасывают два раза. Найти вероятность того, что оба раза выпадет одно и то же число очков.

1.3.7. Бросают одновременно две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: {сумма выпавших очков равна 8}, {произведение выпавших очков равно 8}, {сумма выпавших очков больше, чем их произведение}.

1.3.8. Бросают две монеты. Сравнить вероятности событий {монеты легли одинаковыми сторонами} и {монеты легли разными сторонами}.

Ответы к упражнениям

1.3.1. .

1.3.2. .

1.3.3.

1.3.4.

1.3.5. ; ; .

1.3.6. .

1.3.7. , , .

1.3.8. .

При подсчёте количеств элементарных исходов и часто используют следующее утверждение (его легко доказать методом математической индукции).

Пусть даны групп элементов, причём -я группа содержит элементов. Опыт состоит в выборе элементов – по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число возможных способов выбора определяется основной формулой комбинаторики

. (1.3.2)

Пример 1.3.8.

Сколько трёхзначных чисел делятся без остатка на 5?

◄Запись трёхзначного числа состоит из трёх цифр. Первая (слева) цифра может быть любой, кроме 0, т. к. иначе число не будет трёхзначным, т. е. возможны вариантов первой цифры. Вторая цифра может быть любой, т. е. имеем вариантов второй цифры. Третья цифра числа, кратного 5, может быть выбрана из вариантов (0 или 5). Таким образом, существует чисел, указанных в условии.►

Задание для самостоятельной работы

Решите задачи: [1], №№ 18.72 - 18.77.

При вычислении вероятностей, связанных с классической схемой, часто используют формулы комбинаторики. Рассмотрим опыт с выбором элементов из множества, содержащего элементов. Результат такого опыта называют выборкой из элементов по или просто из по . Возможны следующие варианты.

а) Каждый выбранный элемент после выбора не участвует в дальнейшем выборе. Тогда говорят о выборке без повторений, т. к. в такой выборке все элементы различны (не повторяются).

б) Выбранный элемент фиксируется и возвращается в группу из элементов, т. е. участвует в дальнейшем выборе. Таким образом, один и тот же элемент может попасть в выборку и более одного раза. В этом случае получается выборка с повторениями.

Далее, порядок выбора элементов можно не учитывать (тогда выборка называется сочетанием) или учитывать (тогда получаем размещение).

Таким образом, получаются четыре основные разновидности выборки:

1. Сочетание из по без повторений или просто сочетание из по.