Случайные события. Вероятность (стр. 1 )

1. Случайные события. Вероятность

1.0. Введение

В настоящей главе содержится учебный материал по теме «Вероятность случайного события». Рассмотрены все основные понятия и результаты, относящиеся к этой теме:

- пространство элементарных исходов;

- случайные события, их свойства и действия над ними;

- определения и свойства вероятности: классическая и геометрическая схемы, аксиоматический подход;

- схема Бернулли повторных испытаний;

- условные вероятности, независимость событий;

- формулы полной вероятности и Байеса;

- подсчёт вероятностей сложных событий.

Основное внимание уделено простоте и доступности изложения материала, возможности его изучения в режиме самостоятельной работы. С этой целью разобрано большое количество примеров, наглядно иллюстрирующих рассматриваемые понятия и результаты. Часть примеров посвящены наиболее распространённым ошибкам, которые встречаются при решении задач по теме. Изложение сопровождается упражнениями, которые предлагается выполнить самостоятельно. Весь теоретический материал (доказательство теорем и других утверждений, вывод основных формул) распределён по примерам и упражнениям. Упражнения снабжены ответами и, в случае необходимости, указаниями. Кроме того, дополнительно указаны задачи, которые рекомендуется решить для закрепления знаний и навыков, а также источники, содержащие теоретический материал по данному разделу темы. Каждый раздел заканчивается контрольными вопросами, относящимися ко всем новыми понятиям и результатам, рассмотренным в нём.

В конце главы предложены контрольная работа (6 вариантов) и два заключительных теста по 10 задач по темам этой главы. Приведены решения задач одного из вариантов контрольной работы.

Опишем порядок работы с методическим материалом данной главы.

1. Внимательно ознакомиться с определениями новых понятий и связанными с ними результатами. Запомнить их.

2. Разобрать приведённые примеры и убедиться в правильности всех выкладок.

3. Выполнить упражнения и сравнить полученные результаты с ответами.

4. Решить задачи, рекомендованные для самостоятельного решения.

5. Ознакомиться с рекомендованным теоретическим материалом.

6. Ответить письменно на контрольные вопросы к изучаемому разделу и проверить правильность ответов, вернувшись к соответствующему материалу этого раздела. Если ответы на часть вопросов оказались ошибочными, повторить ответы на них через некоторое время.

По окончании изучения материала данной главы необходимо проверить качество собственных знаний и навыков следующим образом.

1. Попытаться решить задачи контрольной работы (вариант 1). На решение отвести 80 минут.

2. По окончании контрольной работы сравнить собственные решения задач с правильными решениями, приведёнными в конце главы. В случае совпадения не только полученного ответа с правильным ответом, но и решения задачи с правильным решением считать данную задачу решённой. Если эти условия не выполнены, то решение задачи не засчитывается.

3. По результатам п.2 определить оценку за контрольную работу следующим образом:

Число решённых задач	6	5	4	3	2	1	0
Оценка	отлично	хорошо	удовл.	неуд.

4. Для окончательной оценки результатов изучения темы необходимо выполнить тестовые работы (2 теста по 10 заданий). Время решения задач каждого теста - 1,5 часа. Правильность решения задач и ответов на вопросы контролируется по ответам. Критерий оценки выполнения тестовой работы:

Число выполненных заданий	9-10	7-8	5-6	<6
Оценка	отлично	хорошо	удовл.	неуд.

Переход к изучению материала следующей главы возможен только при достижении положительных оценок по контрольной работе и тестовому заданию.

Желаем успеха!

1.1. Пространство элементарных исходов

Теория вероятностей изучает случайные явления не непосредственно, а с помощью идеализированных математических моделей случайных опытов.

Всякий случайный опыт (испытание, эксперимент) состоит в осуществлении некоторого комплекса условий и наблюдении результата. Любой наблюдаемый результат опыта интерпретируется как случайный исход (случайное событие). Случайное событие в результате опыта может произойти, а может и не произойти.

Каждому опыту ставится в соответствие пространство элементарных исходов . Это множество простейших (т. е. неразложимых в рамках данного опыта на более простые) взаимоисключающих исходов , таких, что результатом эксперимента всегда является один и только один исход .

Пример 1.1.1.

Опыт состоит в бросании одной правильной шестигранной игральной кости и наблюдении числа выпавших очков.

Элементарные исходы: {выпало очков}, .

Неэлементарные исходы (события): ={выпало чётное число очков}, ={выпало число очков, большее, чем 2} и т. п. Исход не является элементарным, т. к. он разлагается на более простые исходы .

Пространство элементарных исходов данного случайного опыта состоит из шести элементов.

Пример 1.1.2.

Опыт состоит в бросании двух монет и наблюдении выпавших сторон («герб», «решка») этих монет.

В зависимости от условияй опыта возможны варианты:

а) монеты неразличимы;

б) монеты различимы, например пронумерованы.

Элементарные исходы:

а) {выпали два герба}, {выпали: один герб и одна решка}, {выпали две решки};

б) {гг} (выпали два герба), {гр} (на первой монете – герб, на второй – решка), {рг} (на первой монете – решка, на второй – герб), {рр}( выпали две решки).

Неэлементарный исход: {выпал хотя бы один герб},

Пространство элементарных исходов: в случае а) состоит из трёх элементов, в случае б) – из четырёх элементов.

Пример 1.1.3.

Опыт состоит в регистрации числа элементарных часиц, появившихся в процессе радиактивного распада на определённом промежутке времени.

Элементарные исходы – целые неотрицательные числа: .

Неэлементарный исход: {появилось более 100 частиц}.

Пространство элементарных исходов: - счётное множество всех целых неотрицательных чисел.

Пример 1.1.4.

Опыт состоит в том, что производится один выстрел по плоской мишени и наблюдаеся точка попадания пули. Размером пули можно пренебречь.

Элементарные исходы – точки мишени. Если ввести декартову систему координат, то в качестве элементарных исходов можно рассматривать пары чисел - координаты этих точек. Естественна идеализация: считаем мишень бесконечной. Тогда .

Неэлементарный исход: {расстояние от точки попадания до центра мишени не превосходит 10 см}.

Пространство элементарных исходов:

.

Упражнения

Для следующих случайных опытов:

а) указать элементарные исходы;

б) привести пример случайного события, не являющегося элементарным исходом;

в) описать пространство элементарных исходов и в случае, если оно конечно, указать число его элементов .

1.1.1. Подбрасывают две игральные кости и фиксируют выпавшие очки. По условиям опыта кости неразличимы.

1.1.2. То же, что и в 1.2.1, но кости различимы.

1.1.3. Четыре разные буквы написаны на четырёх карточках. Случайным образом последовательно выбирают 3 карточки и наблюдают выложенное из них «слово».