Случайные события. Вероятность (стр. 7 )

2. Размещение из по без повторений или просто размещение из по.

3. Сочетание из по с повторениями.

4. Размещение из по с повторениями.

Часто рассматривают частный случай размещения из по без повторений, когда . Такая выборка называется перестановкой из элементов.

Опыт с выбором элементов из множества, состоящего из элементов легко представить себе следующим образом. Пусть в урне лежат различимых (например, пронумерованных) шаров. Извлекая из урны шаров, мы получаем выборку из по .

При этом если извлекаемые шары в урну не возвращаются, а откладываются в сторону без учёта прядка их поступления, то получается сочетание (без повторений). Если же извлекаемые шары выкладывают в ряд в порядке извлечения, то образуется размещение (без повторений). Далее, после каждого извлечения можно записывать, какой шар был извлечён (шары различимы!) и возвращать извлечённый шар в урну. Тогда сформируется либо сочетание с повторениями (если в записях не фиксируется порядок поступления шаров из урны), либо размещение с повторениями (если записи содержат информацию не только о том, какие шары выбраны, но и в каком порядке).

Различные перестановки из элементов отличаются друг от друга тем, что одни и те же элементов располагаются в выборках в разном порядке.

Приведём основные формулы комбинаторики.

1. Число сочетаний из по

. (1.3.3)

2. Число размещений из по

. (1.3.4)

При получаем число перестановок из

. (1.3.5)

3. Число сочетаний из по с повторениями

. (1.3.6)

4. Число размещений из по с повторениями

. (1.3.7)

Перечислим основные правила использования этих формул с учётом выводов, сделанных ранее (см. примеры 1.3.2 – 1.3.7 и замечания к ним).

1. При выборе нужной формулы для нахождения общего числа исходов и числа благоприятствующих исходов в большинстве случаев достаточно ответить на два вопроса по поводу условий опыта. Первый из них: выбор элементов проводится с возвращением или без него (т. е. получается выборка с повторениями или нет), а второй – учитывается порядок элементов в выборке или нет (выборка является размещением или сочетанием).

2. Если выбор проводится с возвращением, то при отсутствии указаний на особые условия проведения опыта порядок элементов в выборке следует учитывать, иначе элементарные исходы не будут равновозможными. Если же выбор производится без возвращения, то порядок элементов можно учитывать или не учитывать. Обычно он учитывается только в случаях, когда появление рассматриваемого события зависит от порядка элементов.

3. Если при подсчёте общего числа исходов порядок элементов учитывается (не учитывается), то его следует учитывать (не учитывать) и при подсчёте числа благоприятствующих событию исходов .

Пример 1.3.9.

Для представительства в студенческом органе самоуправления от группы (20 студентов) с помощью жеребьёвки выбираются три человека. С какой вероятностью в представительство попадут только студенты из первой половины списка группы (событие )?

◄В данном случае происходит выбор из 20 по 3 без возвращения, т. е. получаем выборку без повторений. Поэтому порядок можно не учитывать. Тогда выборкой будет сочетание и .

Число благоприятствующих исходов находим таким же образом, но учитываем, что этим исходам соответствуют выборки из 10 (первая половина списка) по 3: .

Окончательно, .

Если бы мы учитывали порядок и считали и , то получили бы: , т. е. тот же ответ.►

Задание для самостоятельной работы

Решите задачи: [1], №№ 18.78 - 18.80, 18.84.

Пример 1.3.10.

Для представительства в студенческом органе самоуправления от группы (20 студентов) с помощью жеребьёвки выбирают трёх человек: руководителя, его заместителя и секретаря представительства.

С какой вероятностью в председателем будет студент из первой половины списка, а остальные представители – из второй половины списка (событие )?

◄В этом случае, как и в примере 1.3.9, происходит выбор из 20 по 3 без возвращения, т. е. получаем выборку без повторений. Однако теперь порядок необходимо учитывать, т. к. событие зависит от порядка элементов. Например, можно считать, что первый элемент выборки - председатель, второй - заместитель и третий - секретарь. Поэтому выборкой в данном случае будет размещение и .

Найдём число благоприятствующих исходов . Для этих исходов председатель выбирается из десяти студентов (первая половина списка), т. е. существует вариантов выбора председателя. Остальные представичеловека в определённом порядке) выбираются также из десяти (вторая половина списка), число вариантов этого выбора . Поэтому .

Окончательно, .►

Пример 1.3.11.

Студенты из группы (20 человек) сдают экзамен в случайной очерёдности. С какой вероятностью первый по списку группы студент будет сдавать экзамен первым, а двадцатый по списку студент – последним (событие )?

◄Элементарные исходы – это перестановки из 20 элементов, их число .