Случайные события. Вероятность (стр. 8 )

Благоприятствующие событию исходы – это выборки из тех же 20 элементов, различающиеся их порядком и содержащие два определённых элемента (первый и последний по списку студенты) на первом и последнем местах соответственно. Поэтому число благоприятствующих исходов равно числу перестановок из 18 остальных элементов (студентов занимающих в очереди места со 2-го по 19-е): .

Окончательно, .

Задание для самостоятельной работы

Решите задачи: [1], №№ 18.87 - 18.93, 18.96, 18.97.

Пример 1.3.12.

В магазине работают 5 отделов, каждый отдел торгует товарами определённого назначения. Десять покупателей вошли в магазин, каждый обратился в нужный ему отдел. Считая любое распределение общего числа покупателей по отделам равновероятным с остальными распределениями, найти вероятности событий: {все покупатели обратились в один и тот же отдел} {в каждый отдел обратилось по 2 покупателя}.

◄В данном случае опыт состоит в десятикратном случайном выборе с возвращением из 5 элементов. Можно рассмотреть такой эквивалентный опыт. Пусть в урне лежат 5 шаров с номерами отделов магазина, и покупатели последовательно наудачу достают по одному шару для определения отделов, в которые они обратятся. Поскольку несколько покупателей могут обратиться в один и тот же отдел, шар после каждого извлечения возвращается в урну.

Как уже отмечалось, если нет указаний на особые обстоятельства опыта, при выборе с возвращением необходимо учитывать порядок элементов. Поэтому на первый взгляд кажется, что в данном случае .

Однако в условии сказано, что равновозможными являются распределения по отделам не покупателей, а их количеств. Поэтому равновозможными являются выборки с повторениями, в которых порядок элементов не учитывается. Другими словами, важно не то, в каких по счёту извлечениях появился шар с определённым номером, а то, сколько раз он появился. Таким образом, правильный результат .

Далее , т. к. число вариантов для обращения всех покупателей в один отдел совпадает с числом отделов, откуда а , поэтому .►

Задание для самостоятельной работы

Решите задачи: [1], №№ 18.98, 18.99.

Пример 1.3.13.

Найти вероятность того, что случайно выбранный четырёхзначный номер автомобиля не содержит цифр, отличных от «3» и «7».

◄Опыт можно представить, как случайный выбор четырёх элементов (цифр) из 10. Цифры в номере могут повторяться, значит это выбор с возвращением. Результат опыта (случайный номер) - это выборка с повторениями, порядок элементов учитывается. Поэтому .

Благоприятствующие исходы получаются в результате выбора с возвращением четырёх элементов из двух (цифры «3» и «7»), значит .

Окончательно, .►

Задание для самостоятельной работы

Решите задачи: [1], №№ 18.100 - 18.105.

Пример 1.3.14.

Случайный опыт состоит в разбиении множества из из элементов на занумерованных подмножеств , , содержащих по элементов . Найдём число элементарных исходов этого опыта.

◄Представим опыт как последовательное формирование подмножеств , . Подмножество можно образовать способами, подмножество можно сформировать из оставшихся элементов способами, подмножество можно создать способами и т. д. Поэтому, согласно (1.3.2) имеем:

.

Используя формулу (1.3.3), отсюда получаем:

(1.3.8)

(убедитесь в этом!).►

Пример 1.3.15.

Карты из колоды в 36 карт раздают четырём игрокам, по 9 карт каждому. С какой вероятностью каждому из них достанутся карты одинаковой масти?

◄По формуле (1.3.8) находим: .

Число благоприятствующих исходов равно числу способов распределить 4 масти по 4 игрокам, т. е. равно числу перестановок из 4: .

Окончательно, .►

Задание для самостоятельной работы

Решите задачи: [1], №№ 18.108, 18.110, 18.112 - 18.115.

Контрольные вопросы

1. Приведите классическое определение вероятности.

2. Перечислите основные свойства классической вероятности.

3. Напишите основную формулу комбинаторики.

4. Что называют выбором без возвращения? с возвращением?

5. Что называют сочетанием? размещением? Перестановкой?

6. Приведите формулы для числа сочетаний и размещений из по без повторений и с повторениями, а также для числа перестановок из .

7. Как найти число способов разбить множество из элементов на занумерованных подмножеств , , содержащих по элементов?

8. Если не оговариваются особые условия опыта, нужно ли учитывать порядок элементов в выборке при выборе:

а) с возвращением;

б) без возвращения?

Задание для самостоятельной работы

1. Решите задачи: [ ], №№ 18.121 – 18.126.

1.4. Геометрическое определение вероятности

Геометрическое определение вероятности обобщает классическое на случай бесконечного множества элементарных исходов . Пусть представляет собой множество в пространстве (числовая прямая), (плоскость), (мерное евклидово пространство).

В пространстве в качестве множеств будем рассматривать только промежутки и их объединения, т. е. множества, имеющие длину; в пространстве - те множества, которые имеют площадь; в - множества, имеющие объём; в , , - множества, имеющие обобщённый (мерный) объём. Такие множества будем называть измеримыми.