Сопротивление материалов (стр. 11 )

Рис. 4.24. Разбивка эпюры М на втором участке на три площади

.

Полученная величина угла поворота совпадает с найденной ранее аналитическим методом. Положительный знак говорит о том, что поворот сечения В происходит по направлению обобщенной силы, то есть в соответствии с принятым на рис. 4.23, б направлением единичной пары по часовой стрелке. Теперь будем искать прогиб сечения С. Загрузим балку новой обобщенной силой, соответствующей прогибу в точке С. Такой обобщенной силой будет сосредоточенная сила, равная единице и приложенная в точке С. Эпюра изгибающих моментов М2 от этой единичной силы показана на рис. 4.23, в. Согласно формуле (4.22) искомый прогиб

.

Найдем ординаты на эпюре М2, расположенные под центрами тяжести шести фигур, на которые разбита эпюра М. Положение центров тяжестей всех фигур, кроме , показано на рис. 4.23, а. Ординату на эпюре М2, расположенную под центром тяжести какой-то фигуры, можно найти либо из подобия треугольников, либо как изгибающий момент от единичной силы под центром тяжести рассматриваемой фигуры. Используем второй вариант вычисления ординат. Изгибающий момент под центром тяжести треугольника равен значению силы (1), расположенной слева от сечения, умноженной на плечо ( м), со знаком минус. То есть

м.

Аналогично ордината под центром тяжести треугольника равна силе (1), умноженной на плечо (2 +2/3 = 8/3 м), со знаком минус. И так же для остальных фигур, положение центров тяжести которых известно:

м, м, м, м.

Поскольку положение центра тяжести трапеции не определено и невозможно в этом случае найти ординату под центром тяжести, воспользуемся на этом участке формулой перемножения трапеций (4.24):

кН·м3.

Искомое перемещение – прогиб в точке С

.

Результат совпадает с найденным ранее прогибом в точке С аналитическим способом. Отрицательный знак перемещения показывает, что точка С перемещается в сторону, противоположную выбранному направлению единичной силы (см. рис. 4.23, в), то есть вверх.

Пример 2

Рис. 4.25. Эпюры моментов: а – от заданной нагрузки; б – от единичной обобщенной силы, соответствующей углу поворота сечения А; в – от единичной обобщенной силы, соответствующей прогибу в точке D

Условие задачи

Определим угол поворота сечения А и прогиб сечения D в балке, показанной на рис. 4.21, а, методом Максвелла – Мора с использованием правила Верещагина (перемножением эпюр). Ранее эти перемещения были найдены аналитическим методом, сравним результаты, полученные двумя способами.

Решение

Построим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки (рис. 4.25, а) и от единичных обобщенных сил, соответствующих искомым перемещениям (рис. 4.25, б, в). Разобьем эпюру моментов от заданной нагрузки на три треугольника и найдем их площади:

кН·м2; кН·м2; кН·м2.

Для определения угла поворота сечения А перемножим эпюры М и М1. Для этого найдем ординаты на эпюре М1, расположенные под центрами тяжести треугольников:

; ; .

Тогда угол поворота сечения А согласно формуле (4.22)

.

Положительный знак угла поворота показывает, что поворот сечения А происходит по направлению обобщенной силы, то есть в соответствии с показанной на рис. 4.25, б единичной парой сил по ходу часовой стрелки. Результат совпадает с полученным ранее аналитическим способом.

Чтобы найти прогиб сечения D, используем при перемножении эпюру М2. Ординаты на эпюре М2 под центрами тяжести треугольников будут такими:

м; м; м.

Найдем прогиб сечения D по формуле (4.22):

.

Прогиб сечения D получился положительным. Это означает, что точка D перемещается по направлению единичной силы. Поскольку единичная сила показана на рис. 4.25, в направленной вниз, то и перемещение точки D происходит вниз. Полученный результат совпадает с тем, который был получен ранее аналитическим способом.

4.2. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ

Рекомендуемая литература

, , Державин материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 2 (§ 2.6), гл. 8 (§ 8.9).

, Шпиро материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 11 (§ 11.4, 11.5).

Основные определения

Статически определимая рама – конструкция, состоящая из нескольких изгибаемых стержней, закрепленных так, что опорные реакции и внутренние усилия можно найти с помощью уравнений статики. Чаще всего стержни рамы соединены между собой жестким образом, так, что в процессе деформации угол между стержнями не меняется. Мы будем рассматривать только плоские рамы, стержни которых расположены под углом 90°. Вертикальные стержни рамы принято называть стойками, горизонтальные – ригелями. В стержнях плоских рам возникают три внутренних усилия: продольная и поперечная силы и изгибающий момент.

Внутренние усилия в рамах определяются методом сечений, и порядок их нахождения тот же, что и для балок. Напомним, что согласно методу сечений:

·*  продольная сила N равна сумме проекций всех сил, действующих с одной стороны от сечения, на ось стержня;

·*  поперечная сила Q равна сумме проекций всех сил, действующих с одной стороны от сечения, на ось, перпендикулярную оси стержня;

·*  изгибающий момент M равен сумме моментов всех сил, действующих с одной стороны от сечения, относительно оси, проходящей через центр тяжести рассматриваемого сечения.

Правила знаков для продольной и поперечной сил те же, что и раньше: растягивающая продольная сила положительна, поперечная сила положительна, если она обходит сечение по ходу часовой стрелки. Правило знаков для изгибающего момента в рамах следующее: момент считается положительным, если он изгибает стержень рамы выпуклостью вовнутрь[10]. На эпюрах N и Q положительные значения принято откладывать снаружи, на эпюре М – внутри – со стороны растянутых волокон.

От действия трех внутренних усилий в стержнях рамы возникают напряжения: нормальные и касательные. Нормальные напряжения определяются как сумма напряжений от продольной силы () и от изгибающего момента по формуле (4.1). Касательные напряжения находят по формуле Журавского (4.2).

Перемещения точек оси рамы определяются, как правило, методом Максвелла – Мора по формуле (4.21). Заметим, что произвольная точка оси рамы в отличие от точки оси балки может перемещаться не только по вертикали, но и по горизонтали. Будем обозначать линейные перемещения точек оси рамы буквой d, отмечая направление перемещения индексом сверху: dверти dгор. Углы поворота сечений рамы, как и балок, обозначаем буквой j.

Примеры решения задач

4.2.1. Определение внутренних усилий в рамах

(задачи № 21, 22)

Условие задачи

Рассмотрим раму, показанную на рис. 4.26, и определим в ней внутренние усилия, то есть построим эпюры N, Q и М.