Сопротивление материалов (стр. 14 )

. (4.26)

Аналогично для основной системы, изображенной на рис. 4.34, в, условия совместности деформаций следующие: .

Рис. 4.35. Взаимный угол поворота сечений около шарнира

Обсудим еще вариант 2 основной системы, показанный на рис. 4.33, в. В точке С сделан разрез стержня и между соседними сечениями вставлен шарнир. Лишней неизвестной в этом случае является изгибающий момент, возникающий в сечении С при отсутствии шарнира. Этот изгибающий момент изображен на рис. 4.33, в в виде двух одинаковых пар сил Х. Чтобы записать уравнение совместности деформаций, надо понять, чем отличается деформация заданной системы от деформации рассматриваемой основной системы. В заданной системе поворот соседних сечений, расположенных бесконечно близко слева и справа от точки С, возможен на один и тот же угол (сечения "склеены"). После разреза и добавления шарнира соседние сечения могут поворачиваться относительно друг друга на угол (рис. 4.35). Этот взаимный угол поворота соседних сечений в точке С мы и должны положить равным нулю при записи условия совместности деформаций: .

Для определения лишних неизвестных необходимо найти деформации в условиях совместности деформаций любым способом. Как правило, деформации находят методом Максвелла – Мора с использованием правила Верещагина. Удобно искать деформации отдельно от заданной нагрузки и от лишних неизвестных . Например, условия совместности деформаций (4.26) можно записать так:

; (4.27)

. (4.28)

Таким образом, для дважды статически неопределимой системы получаем систему уравнений из двух уравнений с двумя неизвестными, из которых и находим лишние неизвестные. После определения и находим остальные неизвестные реакции и строим окончательные эпюры внутренних усилий N, Q и М, используя уравнения статики.

Окончательную эпюру изгибающих моментов для один раз статически неопределимой системы можно проверить, перемножив ее с эпюрой моментов от единичной силы[12]. Результатом этого перемножения должен быть ноль, то есть

. (4.29)

Условие (4.29) – это условие совместности деформаций, подтверждающее равенство нулю деформаций по направлению лишней неизвестной.

Примеры решения задач

4.3.1. Расчет статически неопределимой балки

(задача № 23)

Условие задачи

Рис. 4.36. Заданная балка

Балка, показанная на рис. 4.36, с шарниром в точке Е загружена сосредоточенной парой М. Требуется определить внутренние усилия и построить изогнутую ось балки.

Решение

Рис. 4.37. Основная система

Как было показано выше, заданная балка является один раз статически неопределимой. Выберем основную систему, отбросив одну лишнюю связь, например, подвижную опору в точке D (рис. 4.37). Опорную реакцию в точке D будем считать лишней неизвестной и обозначим буквой Х. Уравнением для определения лишней неизвестной является уравнение совместности деформаций. Для выбранной основной системы это условие, приравнивающее нулю прогиб балки в точке D: . Прогиб в точке D можно найти как сумму прогиба, вызванного заданной нагрузкой (парой сил М) и прогиба от лишней неизвестной Х, т. е. условие совместности деформаций можно записать так:

.

Будем искать прогиб методом Максвелла – Мора с использованием правила Верещагина. Сначала найдем . Для этого построим в основной системе эпюры изгибающего момента от заданной нагрузки (пары М в данной задаче) – ММ и изгибающего момента от единичной обобщенной силы, соответствующей искомому перемещению, – М1. Чтобы построить эпюру ММ, найдем опорные реакции. Горизонтальная реакция НА в балках при отсутствии горизонтальной составляющей нагрузки всегда равна нулю – это следует из уравнения равновесия "сумма проекций всех сил на горизонтальную ось равна нулю". Для определения трех других опорных реакций RA, RB и RC составим три уравнения равновесия:

; ; ;

; ; ;

; ; .

Рис. 4.38. Схемы балки и эпюры изгибающих моментов: а, б – от заданной нагрузки; в, г– от единичной силы; д, е– от лишней неизвестной

При составлении уравнений статики было принято, что все реакции действуют вверх, полученные знаки учтены в направлении реакций на рис. 4.38, а. Первое уравнение равновесия связано с наличием шарнира в точке Е балки и показывает, что изгибающий момент в шарнире равен нулю, то есть сумма моментов всех сил слева (или справа) от шарнира равна нулю. Эпюра изгибающих моментов ММ от заданной нагрузки показана на рис. 4.38, б. Чтобы построить эпюру изгибающих моментов от единичной обобщенной силы, приложим эту силу к балке. Поскольку определяем прогиб в точке D, то согласно методу Максвелла – Мора прикладываем в точке D сосредоточенную силу, равную единице (рис. 4.38, в). Находим опорные реакции и строим эпюру М1 аналогично выполненному ранее построению эпюры ММ (рис. 4.38, г). Вычисляем прогиб в точке по формуле Максвелла – Мора, перемножая эпюры ММ и М1:

.

Теперь ищем прогиб в точке D от лишней неизвестной Х – . Строим эпюру МХ (рис. 4.38, е) и перемножаем ее с эпюрой М1, пользуясь правилом Верещагина:

.

Складываем и , находим полное перемещение и в соответствии с условием совместности деформаций приравниваем его нулю:

.

Отсюда .

Рис. 4.39. Окончательные эпюры внутренних усилий в заданной балке

Итак, мы нашли лишнюю неизвестную Х из условия совместности деформаций. Прикладываем ее к заданной системе, не меняя направления, так как значение Х получилось положительным. Строим окончательные эпюры внутренних усилий и от заданных нагрузок (пары сил М), и от лишней неизвестной Х. Эти эпюры показаны на рис. 4.39, б, в.

Заканчиваем решение проверкой результатов. Часто можно обнаружить ошибку, если построить изогнутую ось балки. Изогнутая ось должна удовлетворять как эпюре моментов, которая показывает, в какую сторону направлена выпуклость оси балки после изгиба, так и условиям закрепления балки. На рис. 4.39, а показана деформированная ось балки, удовлетворяющая указанным условиям. Заметим, что из-за наличия шарнира возможен перелом изогнутой оси в точке Е, так как сечения, примыкающие к шарниру поворачиваются на разные углы. Если не удается построить изогнутую ось так, чтобы она удовлетворяла всем условиям, то следует искать ошибку. Эта проверка носит качественный характер и не всегда дает возможность найти ошибку в вычислениях. Проверкой, подтверждающей правильность вычисления лишней неизвестной, является условие (4.29), то есть результатом перемножения окончательной эпюры М с эпюрой изгибающих моментов от единичной обобщенной силы М1 (по правилу Верещагина) должен быть ноль. Делая эту проверку, мы еще раз проверяем равенство нулю прогиба в точке D в нашей задаче, поскольку смыслом этого перемножения является согласно методу Максвелла – Мора определение перемещения по направлению обобщенной силы (прогиба в точке D в решаемой задаче). Проверим решение нашей задачи: