Сопротивление материалов (стр. 17 )

Длины трубопровода вдоль осей х и y: м, м. Подставляя найденные геометрические характеристики в формулы (4.30)–(4.32), сосчитаем значения лишних неизвестных:

м–2;

м–2;

м–1.

Рис. 4.49. Определение внутренних усилий в трубопроводе: а – основная система с найденными реакциями в долях от aDTЕI; б – эпюра продольных сил N в долях от aDTЕI; в – эпюра изгибающих моментов М в долях от aDTЕI

Нарисуем основную систему и приложим в точке О найденные опорные реакции. Так как все лишние неизвестные оказались положительными, то сохраняем выбранное ранее направление всех неизвестных (рис. 4.49, а). Построим эпюры продольных сил и изгибающих моментов в долях от (рис. 4.49, б, в). На рис. 4.49, в показана равнодействующая сил Х1 и Х2, приложенных в упругом центре. Видно, что на линии действия этой равнодействующей изгибающий момент равен нулю.

Теперь можно решать вопрос о проверке прочности трубы. По эпюрам N и М находим опасное сечение. У нас это сечение в точке О (рис. 4.49, а). [14] В этом сечении действуют одновременно максимальный изгибающий момент и растягивающая продольная сила: , . Напряжения в опасных точках вычисляем по формулам (4.37) и (4.38). Для удобства расчетов приведем формулу (4.37) к другому виду. Максимальное напряжение от изгиба

,

так как момент сопротивления . Нормальное напряжение, вызванное продольной силой, найдем так:

,

где учтено, что для трубы

, ,

r – внутренний радиус трубы. Суммарные напряжения на площадках, перпендикулярных оси х, находим согласно (4.37), складывая sN и .

Отметим особенность решаемой задачи об определении температурных напряжений в статически неопределимой раме: чем больше размер поперечного сечения (больше радиус трубы), тем больше возникающие в конструкции температурные напряжения. Это связано с тем, что с увеличением радиуса увеличивается жесткость рамы и уменьшается свобода деформаций, что и приводит к увеличению напряжений.

Вычисляя напряжения в опасных точках, обратите внимание на единицы измерения величин, входящих в формулы для напряжений. В формуле для определения число 1,87 имеет размерность м–1, в формуле для число 1,04 измеряется в м–2. Таким образом, подставляя R в метрах, получим величину напряжения в тех же единицах измерения, что и модуль упругости Е. При проверке прочности в опасных точках трубы используйте знания, полученные при изучении разд. 2 "Исследование плоского напряженного состояния. Проверка прочности для сложного напряженного состояния" [5]. Если условие прочности выполняться не будет, следует уменьшить радиус трубы и добиться удовлетворения условия прочности.

4.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ

В КРИВОЛИНЕЙНОМ СТЕРЖНЕ

Рекомендуемая литература

, , Державин материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 2 (§ 2.6), гл. 6 (§ 6.10).

Гастев курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 11 (§ 46, 47).

, Шпиро материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 10 (§ 10.1–10.3).

Беляев материалов. М., 1976.§ 132–139.

Основные определения

В плоском криволинейном стержне так же, как в плоской раме, состоящей из прямолинейных стержней, возникает три внутренних усилия: N, Q и М. Процесс определения внутренних усилий в криволинейном стержне тот же, что и в раме. Особенность состоит в новом правиле знаков для изгибающего момента: изгибающий момент считается положительным, если он увеличивает кривизну стержня[15]. Правила знаков для продольной и поперечной сил те же, что и при их определении в плоских рамах.

При чистом изгибе в криволинейных стержнях возникают нормальные напряжения, которые вычисляются по формуле

, (4.39)

где – радиус кривизны оси стержня; – величина смещения нейтральной оси от главной центральной оси сечения в сторону центра кривизны (точка С на рис. 4.50); – координата той точки, в которой мы ищем напряжения в главной центральной системе координат. Для того, чтобы формула (4.39) при определении напряжений правильно давала знак напряжений, ось следует направлять в сторону от центра кривизны. Формула (4.39) показывает, что нормальные напряжения в поперечном сечении криволинейного стержня распределяются не по линейному закону, как в прямолинейном стержне, а по гиперболическому. Эпюра нормальных напряжений в криволинейном стержне при чистом изгибе показана на рис. 4.50.

Рис. 4.50. Распределение напряжений в сечении кривого бруса при чистом изгибе

Для определения величины существуют разные пути. Будем делить криволинейные стержни в зависимости от отношения (где с – расстояние от центра тяжести сечения до крайнего внутреннего волокна) на стержни большой (), средней () и малой кривизны (). Для стержней большой кривизны при определении рекомендуем использовать точные формулы для простых форм сечений (прямоугольник, круг), полученные в [2, § 46]. Если поперечное сечение имеет более сложную форму, то при определении величины для стержней большой и средней кривизны можно использовать либо приближенные формулы [2, § 46], либо таблицы, приведенные в [7, § 139]. Для стержней малой и средней кривизны допустимо использовать приближенную формулу

. (4.40)

Если в сечении, кроме изгибающего момента, действует продольная сила, то в формулу (4.39) добавляется слагаемое . Касательные напряжения от поперечной силы в практических расчетах для криволинейных стержней обычно не учитывают.

Для определения перемещений точек оси криволинейных стержней большой кривизны используется метод Максвелла – Мора, согласно которому обобщенное перемещение находится по формуле [2]

, (4.41)

где N, M – продольная сила и изгибающий момент от заданной нагрузки, , – продольная сила и изгибающий момент, вызванные обобщенной силой, соответствующей искомому перемещению. Интегрирование ведется по длине дуги оси стержня (– дифференциал дуги). Для криволинейных стержней малой и средней кривизны допустимо определять перемещения по формуле Максвелла – Мора для прямолинейных стержней, заменяя на :

. (4.42)

Видно, что формула (4.41) отличается от формулы Максвелла – Мора для прямолинейных стержней (4.42) знаменателем второго слагаемого ( вместо ) и наличием третьего слагаемого. Влияние поперечной силы на перемещения в обеих формулах не учитывается.