Сопротивление материалов (стр. 15 )

.

4.3.2. Расчет статически неопределимой рамы

(задача № 24)

Условие задачи

В раме, показанной на рис. 4.40, требуется определить внутренние усилия и построить ось рамы после деформации. Жесткость всех стержней рамы одинакова и равна EI.

Решение

Рассматриваемая рама является один раз статически неопределимой и для выбора основной системы требуется отбросить одну лишнюю связь. Такой лишней связью будем считать шарнирно-

Рис. 4.40. Схема рамы с нагрузками

Рис. 4.41. Основная система

подвижную опору в точке В. Основная система с отброшенной лишней связью показана на рис. 4.41. Лишняя неизвестная, то есть реакция в отброшенной лишней связи, обозначена буквой Х. Условие совместности деформаций для выбранной основной системы – это условие, приравнивающее нулю горизонтальное перемещение точки В: . Это перемещение складывается из перемещения, вызванного всей заданной нагрузкой , и перемещения от лишней неизвестной . Тогда условие совместности деформаций запишем так:

.

Будем искать перемещения методом Максвелла – Мора с использованием правила Верещагина. Для этого построим три эпюры изгибающих моментов в основной системе: от заданной нагрузки (рис. 4.42, а), от единичной силы, соответствующей горизонтальному перемещению в точке В (рис. 4.42, б), и от лишней неизвестной Х (рис. 4.42, в). Для определения перемножим эпюры МР и М1:

.

Рис. 4.42. Эпюры изгибающих моментов: а – от заданной нагрузки; б – от единичной силы; в – от лишней неизвестной Х

Рис. 4.43. Окончательные эпюры внутренних усилий

Горизонтальное перемещение точки В от лишней неизвестной Х

.

Подставим найденные перемещения в условие совместности деформаций и найдем значение лишней неизвестной:

Рис. 4.44. Изогнутая ось рамы

, откуда кН.

Строим окончательные эпюры внутренних усилий, приложив к основной системе все нагрузки, включая найденное значение Х (рис. 4.43). Выполним проверку, перемножив эпюру М с эпюрой М1.

=147,24 – 147,3 » 0.

Изогнутая ось рамы, соответствующая эпюре изгибающих моментов (рис. 4.43, г), и условиям закрепления показана на рис. 4.44. Крестиками на рисунке отмечены точки перегиба оси.

4.4. РАСЧЕТ ПЛОСКОГО ТРУБОПРОВОДА

НА ТЕМПЕРАТУРНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ И

ВНУТРЕННЕЕ ДАВЛЕНИЕ

Рекомендуемая литература

, , Ручинский трубопроводов на прочность: Справочная книга. М.: Недра, 1969. Гл. 21, 27.

Основные определения

Рис. 4.45. Температурные компенсаторы

Известно, что в статически неопределимых стержневых конструкциях возникают напряжения в результате температурного воздействия. Температурные напряжения особенно велики в стержне, защемленном по двум концам (см., например, решение задачи № 4 об определении температурных напряжений [5]). Для уменьшения температурных напряжений в такого рода конструкциях (например, в трубопроводах) используются температурные компенсаторы, которые увеличивают свободу деформаций за счет изгиба. Температурные компенсаторы представляют собой статически неопределимые рамы с двумя заделками по концам (рис. 4.45). В данном разделе рассматривается расчет плоских статически неопределимых рам (плоских трубопроводов) на температурное воздействие по методу упругого центра. Предполагается, что стержни рамы соединены между собой жестким образом под углом 90°, все стержни имеют одинаковую жесткость.

Рассматриваемые рамы являются три раза статически неопределимыми системами. Выберем основную систему для рамы, показанной на рис. 4.45, а, отбросив левую заделку (рис. 4.46). Лишними неизвестными являются реакции в защемлении: Х1, Х2 и Х3. В точке О поместим начало декартовой системы координат хОy. Положительное направление силы Х1 должно совпадать с направлением оси х, силы Х2 – с направлением оси y. Положительное направление пары сил Х3 должно соответствовать направлению поворота оси х к оси y. Можно показать, что решение канонической системы уравнений метода сил для выбранной основной системы дает такие формулы для определения лишних неизвестных:

; (4.30)

; (4.31)

. (4.32)

Рис. 4.46. К расчету трубопровода: а – основная система; б – точка С – упругий центр

В этих формулах DТ – изменение температуры; a – коэффициент линейного температурного расширения; EI – жесткость стержней рамы; Lx, Ly – суммарные длины стержней рамы, параллельных осям х и y. При вычислении длины стержня учитывается направление обхода по длине стержня от начала координат. Если обход осуществляется по направлению оси, то длина участка рамы считается положительной, в противном случае – отрицательной. Например, для рамы, показанной на рис. 4.46, Ly = 0, так как обход левой стойки рамы от начала координат происходит по направлению оси y, а обход правой стойки – против направления оси.

Чтобы пояснить, что такое хс, yc, ,и , будем рассматривать раму как плоскую фигуру, состоящую из прямоугольников. Одна сторона каждого прямоугольника равна длине участка рамы, а другая сторона (толщина) всегда равна 1. Например, рама на рис. 4.46 считается плоской фигурой, состоящей из пяти прямоугольников с длинами соответственно l1, l2, l3 и 2×l4 и толщиной всех прямоугольников, равной 1. Тогда хс, yc – координаты центра тяжести этой плоской фигуры в системе координат xОy. Центр тяжести фигуры (точка С на рис. 4.46, б) называется упругим центром. Через упругий центр проведем центральные оси xc, yc, параллельные осям x, y. В формулах (4.30), (4.31) ,и – осевые и центробежный моменты инерции рассматриваемой плоской фигуры относительно центральных осей xc, yc.

Напомним некоторые формулы. Координаты центра тяжести плоской фигуры находим так:

; , (4.33)

где А – площадь фигуры. В данном случае, так как толщина всех прямоугольников равна единице, площадь равна сумме длин всех участков рамы. Для рамы на рис. 4.46 ; Sx, Sy – статические моменты фигуры относительно осей x, y, которые находятся как суммы статических моментов каждого прямоугольника относительно осей x, y. Статический момент каждого прямоугольника равен произведению площади прямоугольника на координату центра тяжести прямоугольника в системе координат хОy.

Моменты инерции плоской фигуры вычисляются как суммы моментов инерции простых фигур, составляющих данную фигуру, в рассматриваемом случае момент инерции всей фигуры равен сумме моментов инерций прямоугольников единичной толщины. Для каждого прямоугольника справедливы формулы