Сопротивление материалов (стр. 2 )

·*  нормальные напряжения в балке определяются по формуле[1]

, (4.1)

где М – величина изгибающего момента в рассматриваемом сечении; z – координата той точки поперечного сечения, в которой определяется s, в главной центральной системе координат; – осевой момент инерции относительно главной центральной оси y. Распределение нормальных напряжений по высоте сечения показано на рис. 4.2, а. Ось y, на которой нормальные напряжения равны нулю, называется нейтральной осью;

·  касательные напряжения определяются по формуле Журавского[2]:

. (4.2)

В формуле Журавского Q – значение поперечной силы в рассматриваемом сечении; – статический момент отсеченной части сечения, зависящий от того, в какой точке определяется касательное напряжение; b(z) – ширина сечения на уровне точки, в которой находится напряжение. Например, на рис. 4.2, б заштрихована отсеченная часть сечения и показана ширина b(z) при определении касательных напряжений в точках, удаленных от оси y на расстояние z.

Рис. 4.2. К определению напряжений при изгибе: а – распределение нормальных напряжений по высоте балки; б – определение отсеченной части сечения в формуле Журавского

Из формулы (4.1) следует, что максимальные нормальные напряжения действуют в точках, наиболее удаленных от оси y (нейтральной оси). Для определения максимальных напряжений из формулы (4.1) можно получить

, (4.3)

где – момент сопротивления балки при изгибе. Для балок круглого и прямоугольного сечений моменты инерции и моменты сопротивления находятся по формулам

; ; (4.4)

; . (4.5)

Закон распределения касательных напряжений, определяемых по формуле Журавского, зависит от формы поперечного сечения. Для балок круглого и прямоугольного сечений касательные напряжения изменяются по высоте балок по закону квадратной параболы (рис. 4.3, а). Они равны нулю в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси y, и максимальны в точках, лежащих на оси y. Из формулы (4.2) для балок круглого и прямоугольного сечений следуют формулы для определения максимальных касательных напряжений

; . (4.6)

Очень часто употребляемым сечением для балок является двутавр. Касательные напряжения в полках и стенках двутавровой балки распределяются по разным законам. Наиболее важными при проверке прочности являются касательные напряжения в стенке двутавра. На рис. 4.3, б показана эпюра распределения касательных напряжений в стенке двутавра. Максимальные касательные напряжения в двутавровой балке так же, как и в балках круглого и прямоугольного сечений, действуют в точках, лежащих на нейтральной оси y. Об определении касательных напряжений в двутавре подробно будет сказано при решении задачи о проверке прочности двутавровой балки.

Рис. 4.3. Распределение касательных напряжений по высоте: а – балок круглого и прямоугольного сечений; б – двутавровой балки

Рис. 4.4. "Балочное" напряженное состояние

Основной задачей расчета конструкций является обеспечение их прочности. Известно, что условие прочности в точке тела зависит от материала и от вида напряженного состояния в этой точке. Напряженное состояние произвольной точки стержня при изгибе (балки) показано на рис. 4.4. Назовем такое напряженное состояние "балочным". Это частный случай плоского напряженного состояния, которое отличается от общего случая отсутствием на площадках, перпендикулярных оси z, нормальных напряжений. Для "балочного" напряженного состояния из теорий прочности получены частные формулы проверки прочности. Для хрупких материалов справедливы:

·*  вторая теория прочности

; (4.7)

·*  теория Мора ()

; (4.8)

для пластичных материалов используются

·*  третья теории прочности

; (4.9)

·*  четвертая теория прочности

. (4.10)

4.1. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК

Рекомендуемая литература

, , Державин материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 2 ( § 2.4–2.5), гл. 4 (§ 4.1, 4.2), гл. 6 (§ 6.1–6.3), гл. 7 (§ 7.1, 7.2), гл. 8 (§ 8.1–8.5, 8.9).

Гастев курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 5 (§ 21–25), гл. 15, гл. 8.

, Шпиро материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 5 (§ 5.1–5.5), гл. 7 (§ 7.1–7.8, 7.10, 7.13–7.14), гл. 11 (§ 11.4, 11.5).

Основные определения

Статически определимая балка – балка, в которой опорные реакции, а, следовательно, и внутренние усилия можно найти из одних уравнений статики.

Осваивать расчет статически определимых балок удобно, рассматривая по очереди следующие вопросы:

1.  Определение внутренних усилий в балках.

2.  Проверка прочности балок.

3.  Определение перемещений и проверка жесткости балок.

Решение этих вопросов получим в соответствующих разделах на примере конкретных задач.

Примеры решения задач

4.1.1. Определение внутренних усилий в балках

при плоском поперечном изгибе (задачи № 12–15)

Рекомендуемая литература

, , Державин материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 2 (§ 2.5).

Гастев курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 5 (§ 22).

, Шпиро материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 7 (§ 7.1–7.5).

Как было сказано выше, при плоском поперечном изгибе в балке возникают два внутренних усилия: поперечная сила Q и изгибающий момент M. В соответствии с методом сечений из уравнений отсеченной части балки следует, что поперечную силу можно найти как сумму проекций всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, на ось, перпендикулярную оси стержня (ось z). Изгибающий момент численно равен сумме моментов всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, относительно оси, проходящей через центр тяжести рассматриваемого сечения (оси y).

Рис. 4.5. Правило знаков: а – для поперечной силы; б – для изгибающего момента в балке

Введем правила знаков для поперечной силы и изгибающего момента. Поперечная сила считается положительной, если она обходит сечение по часовой стрелке (т. е. сила, находящаяся слева от сечения и направленная вверх, или сила, находящаяся справа от сечения и направленная вниз, – положительны) (рис. 4.5, а). Изгибающий момент положителен, если он изгибает балку выпуклостью вниз. Обращаем внимание на то, что знак внутреннего усилия – изгибающего момента – зависит от того, с какой стороны от сечения находится момент[3]. Как видно из рис. 4.5, б момент, находящийся слева от сечения, действует по часовой стрелке, а момент, расположенный справа от сечения, – против часовой стрелки. И оба они положительны.

При построении эпюр Q и М договоримся на эпюре Q положительные значения откладывать сверху нулевой линии. На эпюре М у строителей принято откладывать положительные ординаты снизу. Такое правило построения эпюры М называется построением эпюры со стороны растянутых волокон, т. е. положительные значения М откладываются в сторону выпуклости изогнутой балки.

Известно [2], что изгибающий момент М, поперечная сила и интенсивность распределенной нагрузки q связаны между собой такими дифференциальными зависимостями: