Сопротивление материалов (стр. 5 )

В опасных сечениях находятся опасные точки – точки, в которых действуют либо максимальные нормальные, либо максимальные касательные напряжения. Чтобы найти положение опасных точек, посмотрим на эпюры распределения нормальных s и касательных t напряжений по высоте балки, которые построены на рис. 4.8, в. Из эпюры s видно, что наибольшие нормальные напряжения действуют в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси y. Таким образом, опасными точками с максимальными нормальными напряжениями являются точки 1, 1¢, расположенные в сечении а–а (рис. 4.8, в). В одной точке действуют максимальные растягивающие напряжения, в другой – максимальные сжимающие. В данной задаче в сечении а–а максимальный момент положителен, т. е. он изгибает балку выпуклостью вниз, поэтому в точке 1 действуют растягивающие, а в точке 1¢ – сжимающие напряжения. Если допускаемые напряжения при растяжении и сжатии материала балки одинаковы (дерево или пластичный материал), то обе точки являются равноопасными. Опасная точка с максимальными касательными напряжениями, как видно из эпюры t, расположена на оси балки в сечении b–b, где действует наибольшая поперечная сила (точка 2 на рис. 4.8, в).

Рис. 4.8. К решению примера 1 о проверке прочности балки: а – схема балки с нагрузками; б – эпюры внутренних усилий; в – опасные сечения и опасные точки

Запишем условия прочности в опасных точках. Начнем с рассмотрения опасных точек 1, 1¢, так как именно эти точки чаще всего бывают наиболее опасными. Эти точки находятся в линейном напряженном состоянии (рис. 4.9, а) и условие прочности в этих точках записывается так же, как при растяжении-сжатии:

,

Рис. 4.9. Напряженное состояние опасных точек

где максимальные напряжения определяем по форм¢будет иметь вид

.

Если стоит задача подбора сечения, то из этого условия находим требуемый момент сопротивления балки:

,

а, зная момент сопротивления, по формулам (4.5) определяем размеры поперечного сечения балки. Например, для балки круглого поперечного сечения необходимый радиус . Для деревянных балок диаметр ходовых бревен ограничен и не должен быть больше 26 см. Для бревна с радиусом 13 см момент сопротивления равен 1725 см3 . Если полученное из условия прочности значение необходимого момента сопротивления будет больше 1725 см3, то следует подобрать сечение из нескольких бревен. В рассматриваемом примере для деревянной балки с [s] = 10 МПа = 1кН/см2 найдем см3. Тогда количество бревен 3500/1725 = 2,1 » 3 (Округляем всегда в большую сторону). Момент сопротивления одного из трех бревен см3 и радиус каждого бревна будет = 11,4 » 12 см. Заметим, что полученный результат (сечение из трех бревен с радиусом 12 см) справедливо, если все бревна располагать горизонтально, перпендикулярно плоскости изгиба.

Если требуется определить грузоподъемность балки, то из условия прочности в точках 1, 1¢ находим максимальное значение изгибающего момента:

,

которое зависит от нагрузки. Зная эту зависимость из эпюры М, найдем значение допускаемой нагрузки.

Решение задачи будет закончено только тогда, когда мы убедимся, что полученный размер поперечного сечения балки (или найденная допускаемая нагрузка) удовлетворяют условию прочности во второй опасной точке. Поскольку в точке 2 действуют только касательные напряжения (нормальные напряжения в точках, лежащих на оси балки, равны нулю – это видно из эпюры s на рис 4.8, в), то напряженное состояние этой точки – чистый сдвиг (рис. 4.9, б). Если неизвестно опытное значение допускаемого касательного напряжения, то условие прочности при чистом сдвиге записывается по соответствующей материалу балки теории прочности. Например, для пластичного материала из формул (4.9), (4.10) для чистого сдвига можно записать такие условия прочности для точки 2:

– по третьей теории и

– по четвертой теории прочности.

Для деревянной балки, а дерево – анизотропный материал, теории прочности, полученные для изотропных материалов, не справедливы. В этом случае для проверки прочности необходимо знать допускаемое значение касательного напряжения [t], полученное на основании опытных данных. Тогда для деревянной балки условие прочности в точке 2 записывается так:

.

Здесь максимальное касательное напряжение определяем в зависимости от формы поперечного сечения по формулам (4.6). Например, для рассматриваемой балки с подобранным сечением из трех бревен радиусом 12 см

кН/см2,

что меньше [t] = 2 МПа = 0,2 кН/см2.

Если условие прочности в точке 2 выполняться не будет, то необходимо подобрать сечение или найти грузоподъемность балки из условия прочности в этой точке.

Пример 2

Условие задачи

Стальная прокатная двутавровая балка загружена нагрузками, показанными на рис. 4.10, а. Подберем номер двутавра так, чтобы выполнялись условия прочности во всех опасных точках.

Решение

Строим эпюры Q и М. По построенным эпюрам Q и М (рис. 4.10, б) найдем положение опасных точек в двутавровой балке. Сначала покажем на фасаде балки опасные сечения. Кроме опасных сечений, где действуют максимальный изгибающий момент (сечение а–а на рис. 4.10, в) и наибольшая поперечная сила (сечение b–b на рис. 4.10, в), в двутавровой балке существует еще одно опасное сечение – это сечение, где Q и М одновременно имеют большие значения. В рассматриваемом примере это сечение с–с на рис. 4.10, в. В опасных сечениях находятся опасные точки. В сечении а–а – точки 1, 1¢ с максимальными нормальными напряжениями, в сечении b–b – точка 2, в которой действует наибольшее касательное напряжение. Особенностью проверки прочности двутавровой балки является появление новых по сравнению с балками круглого и прямоугольного сечений опасных точек. Это связано с особенностью эпюры распределения касательных напряжений по высоте двутавра. Точки 3, 3¢, находящиеся в сечении с–с и расположенные в крайних точках стенки на сопряжении с полкой (рис. 4.10, в), опасны, так как в них одновременно действуют большие нормальные и большие касательные напряжения.

Подберем размер двутавра (номер двутавра) из условия прочности в точках 1, 1¢ – именно эти точки являются, как правило, наиболее опасными, а затем проверим прочность в остальных опасных точках. Точки 1, 1¢ находятся в линейном напряженном состоянии (рис. 4.9, а) и условие прочности в этих точках имеет вид

.

Рис. 4.10. К решению примера 2 о проверке прочности двутавровой балки: а – схема балки с нагрузками; б – эпюры внутренних усилий; в – опасные сечения и опасные точки

Отсюда определяем необходимый момент сопротивления . По таблице сортамента прокатной стали (например, в [1]) подбираем номер двутавра, у которого момент сопротивления имеет близкое к значение. (Обратите внимание, что в таблице сортамента – другое обозначение осей и принятому нами обозначению там соответствует ). Для балки, изображенной на рис. 4.10, выполненной из стали с допускаемым напряжением 160 МПа,

см3,

и в соответствии с ГОСТ 9239–89 подбираем двутавр № 33, у которого см3.

Рис. 4.11. Отсеченные части сечения: а – для точки 2; б – для точки 3

После того, как найден номер двутавра, необходимо убедиться, что выполняются условия прочности в остальных опасных точках. Точка 2, в которой нормальные напряжения равны нулю, а касательные – максимальны, находится в напряженном состоянии "чистый сдвиг" и условие прочности в ней записывается по теории прочности, справедливой для пластичных материалов (4.9) или (4.10). Максимальные касательные напряжения находим по формуле Журавского (4.2). Рассмотрим подробно как находить статический момент отсеченной части , входящий в формулу Журавского. Статический момент отсеченной части зависит от того, где находится точка, в которой определяется касательное напряжение. Чтобы найти отсеченную часть, надо мысленно разрезать поперечное сечение через точку, в которой ищем t, перпендикулярно направлению касательного напряжения. Любая из "отрезанных" частей может считаться отсеченной. Для точки 2 отсеченная часть сечения показана на рис. 4.11, а (заштрихованная часть) – это половина сечения. Для простых фигур (прямоугольник, круг), положение центра тяжести которых известно, статический момент находится по формуле