Сопротивление материалов (стр. 7 )

Определим допускаемую нагрузку из условия прочности в точке 1, где действуют максимальные растягивающие напряжения:

,

откуда

.

Здесь – момент сопротивления растяжению; – расстояние до наиболее растянутого волокна показано на рис. 4.13. Для рассматриваемого примера и .

Проверим прочность в остальных опасных точках, используя найденное значение допускаемой нагрузки. В точке 1¢ с наибольшими сжимающими напряжениями

,

где – момент сопротивления сжатию. (Расстояние показано на рис. 4.13.)

Для рассматриваемого примера опасной является и точка 4. Условие прочности в этой точке:

.

Чтобы проверить прочность в точке 2 с максимальными касательными напряжениями, находящейся в напряженном состоянии "чистый сдвиг", необходимо применить теорию прочности, справедливую для хрупкого материала. Например, из теории Мора (4.8) для чистого сдвига получим следующее условие прочности:

,

где максимальное касательное напряжение определяем по формуле Журавского (4.2), в которой статический момент находим для отсеченной части, расположенной по одну (любую) сторону от нейтральной оси.

Наконец, условие прочности в точке 3, где действуют и нормальные (растягивающие), и касательные напряжения, записываем по теории прочности для "балочного" напряженного состояния, справедливой для хрупкого материала, например по теории Мора (4.8). Нормальные и касательные напряжения в этой точке определяем по формулам (4.1) и (4.2).

Если в какой-то точке условие прочности не будет выполняться, необходимо найти новое значение допускаемой нагрузки из условия прочности в этой точке.

Примечание; В рассматриваемой задаче, кроме условия прочности, должно выполняться и условие жесткости, т. е. максимальный прогиб не должен превосходить значения допускаемого прогиба. Эта часть задачи является необязательной. Вопрос о нахождении прогибов решается в следующем разделе "Определение перемещений и проверка жесткости балок".

4.1.3. Определение перемещений и проверка жесткости балок (задачи № 19, 20)

Рекомендуемая литература

, , Державин материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 8 (§ 8.1–8.5, 8.9).

Гастев курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 5 (§ 25), гл. 8.

, Шпиро материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 7 (§ 7.13–7.14), гл. 11 (§ 11.4, 11.5).

Основные определения

Под действием нагрузки происходит деформация балки: ось балки искривляется, точки оси балки перемещаются по вертикали[6], сечения балки, оставаясь после деформации перпендикулярными изогнутой оси, поворачиваются. Вертикальное перемещение произвольной точки оси балки, то есть перемещение вдоль оси z , будем называть прогибом и обозначать w(х). Угол поворота произвольного сечения обозначим j(х). Очевидно, что угол поворота произвольного сечения равен углу поворота оси балки в сечении . Прогибы и углы поворота трех балок показаны на рис. 4.14. Известно, что функции w(х) и j(х) связаны между собой такой зависимостью:

. (4.14)

При проектировании конструкций часто ограничивают не только напряжения (требуется удовлетворить условию прочности), но и деформации (требуется обеспечить выполнение условия жесткости). Для балок условием жесткости является условие, ограничивающее максимальный прогиб, т. е.

, (4.15)

Рис. 4.14. Деформации балок при изгибе

где – допускаемый прогиб, который задается в долях от длины пролета балки l и в зависимости от типа проектируемой конструкции может находиться в пределах от до .

Рассмотрим два наиболее часто используемых способа определения перемещений балок (прогибов и углов поворота): способ, основанный на интегрировании приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси балки, называемый аналитическим способом, и метод Максвелла – Мора.

Аналитический способ определения перемещений

Аналитический способ основан на интегрировании приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси балки

. (4.16)

Здесь – жесткость балки при изгибе, то есть произведение модуля упругости на момент инерции. Предполагается, что эта величина не меняется по длине балки; – изгибающий момент в произвольном сечении балки.

Интегрируя уравнение (4.16), мы получим умноженные на жесткость угол поворота произвольного сечения

(4.17)

и прогиб произвольного сечения

. (4.18)

Рис. 4.15. Правило знаков для перемещений в аналитическом методе

В формулах (4.17), (4.18) С и D – произвольные постоянные, которые находятся из граничных условий, зависящих от условий закрепления балки. Для каждой статически определимой балки можно записать два граничных условия для определения двух произвольных постоянных.

Введем правило знаков для прогиба и угла поворота в аналитическом методе определения перемещений. Рис. 4.15 поясняет это правило знаков. Согласно этому правилу прогиб вниз (по направлению оси z) считается положительным. Знак угла поворота зависит от того, где находится начало отсчета х. Если начало отсчета х находится слева, как показано на рис 4.15, поворот сечения по часовой стрелке считается положительным[7].

Если балка имеет участков, то функция изгибающего момента на каждом участке своя. В этом случае надо интегрировать дифференциальных уравнений и определять произвольных постоянных, что очень громоздко. Если использовать специальные правила записи и интегрирования дифференциального уравнения, которые называются правилами Клебша, то число произвольных постоянных можно свести к двум, независимо от количества участков в балке. Перечислим эти правила:

1.  Начало координат для всех участков должно быть единым и находиться на конце балки (левом или правом) (рис. 4.16).

2.  При составлении выражения для изгибающего момента на каждом участке рассматриваем всегда все силы с той стороны от сечения, где находится начало координат.

3.  Если на балку действует распределенная нагрузка, которая обрывается в каком-то сечении балки, то ее следует продолжить до конца балки и приложить на участке, где добавлена нагрузка, распределенную нагрузку той же интенсивности, но противоположного знака (см. рис. 4.16). (Конец балки всегда противоположен выбранному началу координат.)

4.  Если к балке приложена сосредоточенная пара сил , то в выражение для изгибающего момента она входит с множителем , где а – расстояние от начала координат до места приложения пары сил (см. рис. 4.16).

Рис. 4.16. Иллюстрация некоторых правил Клебша

5.  Интегрирование ведется без раскрытия скобок, то есть

.

Примечание. Правила Клебша справедливы, если функция , описывающая распределенную нагрузку, является линейной (в частном случае постоянной величиной).