Сопротивление материалов (стр. 3 )

, (4.11)

(4.12)

и, как следствие (4.11) и (4.12),

. (4.13)

При выводе формул (4.11)–(4.13) нагрузка считалась положительной, если она направлена вниз.

Из определений для поперечной силы и изгибающего момента, а также из дифференциальных зависимостей (4.11)–(4.13) вытекают следующие правила проверки правильности построения эпюр Q и М:

1.  На эпюре Q под сосредоточенной силой имеет место скачок на величину этой силы. На эпюре М в этом сечении должен быть перелом, т. е. резкое изменение угла наклона прямой (или касательной к кривой).

2.  На эпюре М скачок имеет место под сосредоточенной парой на величину этой пары.

3.  Из зависимостей (4.11), (4.12) можно определить вид функций Q и М:

·  если на участке отсутствует распределенная нагрузка (q = 0), то , а М – линейная функция x;

·  если на участке действует равномерно распределенная нагрузка (q = const), то Q – линейная функция, а М – квадратная парабола;

·  если на участке действует линейно распределенная нагрузка, то соответственно Q является квадратной параболой, а М – кубической.

4.3. Характер поведения функции на участке (то есть ее возрастание или убывание) зависит, как известно, от знака первой производной функции. И из дифференциальных зависимостей (4.11), (4.12) следует:

·  если на участке распределенная нагрузка q > 0 (действует вниз), то поперечная сила Q на этом участке является убывающей функцией;

·  если на участке поперечная сила положительна, то функция М(x) возрастает;

·  если на участке в каком-то сечении функция , то на эпюре М в этом сечении имеет место экстремум.

5.4. По знаку второй производной функции определяется выпуклость функции. Из зависимости (4.13) вытекает, что эпюра М всегда имеет выпуклость в сторону действия распределенной нагрузки (q – вниз, выпуклость – вниз и наоборот). По знаку второй производной от Q можно определить выпуклость эпюры Q. Из (4.11)

и, если q(x) – возрастающая функция, то и эпюра Q имеет выпуклость вверх.

6. Из (4.11) следует, что

.

Это означает, что приращение изгибающего момента DМ на участке между сечениями х1 и х2 равно площади эпюры Q на указанном участке.

7.  Из (4.12) получим:

.

То есть приращение поперечной силы на участке между сечениями х1 и х2 равно площади графика на этом участке. Например, если нагрузка q является равномерно распределенной, то площадь графика q равна , где l – длина участка, на котором действует q.

Примечание. Зависимости (4.11) и (4.12) и перечисленные правила справедливы, если начало отсчета x вести слева направо и эпюру М строить со стороны растянутых волокон.

Рекомендуем после построения эпюр обязательно проанализировать результаты, проверив выполняются ли все перечисленные правила в решенной Вами задаче.

Пример 1

Условие задачи

Рис. 4.6. К решению примера 1 по построению эпюр Q и М: а – схема балки с нагрузками; б – эпюры поперечной силы и изгибающего момента

Дана балка с действующими на нее нагрузками (рис. 4.6, а). Требуется определить внутренние усилия – поперечную силу Q и изгибающий момент М в балке, построить графики их изменения вдоль оси стержня (эпюры Q и М).

Решение

Прежде всего, найдем опорные реакции. Балка имеет жесткое защемление на правом конце[4] и в этом закреплении при заданной вертикальной нагрузке возникают две опорные реакции: вертикальная реакция RA и реактивный момент MA. Горизонтальная реакция при действии вертикальной нагрузки равна нулю. Это следует из уравнения равновесия "сумма проекций всех сил на горизонтальную ось равна нулю". Определим RA и MA, используя два других уравнения статики. Желательно составлять такие уравнения, в каждое из которых входит только одна неизвестная. В данном случае такими уравнениями являются "сумма проекций всех сил на вертикальную ось (ось z) равна нулю" и "сумма моментов всех сил относительно точки А равна нулю":

; ;

; Из первого уравнения найдем RA = 30 кН, из второго – МА =5 кН×м. Полученные положительные знаки опорных реакций подтверждают выбранные нами направления опорных реакций: RA – вверх, а МА – против часовой стрелки. Для проверки рекомендуем использовать любое другое уравнение равновесия, например :

– 30×2 – 15×2×1 – 60 + 10×1×2,5 + 30×4+5 = – 150 + 150 = 0.

Теперь определяем внутренние усилия: поперечную силу Q и изгибающий момент М. В соответствии с методом сечений рассекаем балку на каждом участке (в данной задаче их три) произвольным сечением и рассматриваем все силы, расположенные с одной стороны от сечения: слева или справа. Удобно рассматривать все силы с той стороны от сечения, где сил меньше. Начало отсчета координаты x на каждом участке можно выбирать произвольным образом. Например, на рис. 4.6, а начало отсчета x на каждом участке – свое и находится в начале участка. Запишем выражения для Q и М на каждом участке.

Участок 1: .

Рассмотрим силы, расположенные слева от сечения. По определению поперечной силы и с учетом правила знаков для Q (см. рис. 4.5, а):

.

Здесь – равнодействующая равномерно распределенной нагрузки, действующей слева от сечения.

По определению изгибающего момента и с учетом правила знаков для М (см. рис. 4.5, б):

,

где во втором слагаемом – плечо равнодействующей равномерно распределенной нагрузки (), взятой слева от сечения (равнодействующая приложена по середине длины отсеченной части балки x1).

Для построения эпюр найдем значения Q и М на границах участка:

в начале участка (х1 = 0) , а ;

в конце участка () ; .

Участок 2: .

Снова рассмотрим все силы, расположенные слева от сечения.

;

.

Граничные значения Q и М:

в начале участка () ;

,

в конце участка () ;

.