Сопротивление материалов (стр. 6 )

,

где А – площадь фигуры; – координата центра тяжести (при вычислении статического момента отсеченной части знак координаты не учитывается, в этом случае – это расстояние от центра тяжести отсеченной части до оси y). Для вычисления статического момента отсеченной части, показанной на рис. 4.11, а , разобьем ее на два прямоугольника: полку и половину стенки. Для каждого прямоугольника находим площадь и расстояние от центра тяжести до оси y. Тогда

.

В этой формуле первое слагаемое – статический момент полки, а второе – статический момент половины стенки. Заметим, что для стандартных двутавров статический момент половины сечения задан в сортаменте (обозначен ) и для найденного двутавра № 33 см3. В формуле Журавского (4.2) для точки 2 – толщина стенки двутавра, – осевой момент инерции находим по таблице сортамента прокатных двутавров (обозначен) . Подставляя данные для двутавра № 33, получим

кН/см2.

Сравнивая максимальное касательное напряжение согласно третьей теории прочности с кН/см2 , убеждаемся, что условие прочности в точке 2 выполняется.

Проверим прочность в точках 3, 3¢, которые находятся в "балочном" напряженном состоянии (см. рис. 4.4). Найдем напряжения, действующие в точке 3. Нормальное напряжение ищем по формуле (4.1). Координата точки 3 и

кН/см2.

Положительный знак полученного напряжения показывает, что в точке 3, расположенной выше нейтральной оси, действует растягивающее напряжение. Для определения касательного напряжения по формуле Журавского получим сначала статический момент отсеченной части. Отсеченной частью сечения для точки 3 будет полка (см. рис. 4.11, б) и

см3.

Так как точка 3 находится в стенке двутавра, то 0,7 см. Тогда касательное напряжение в точке 3

кН/см2.

Подставляя найденные значения s и t в условие прочности по третьей теории (4.9), убеждаемся в том, что оно удовлетворяется:

< 16 кН/см2.

На этом процесс подбора двутавра заканчивается.

Примечание. В условии задачи № 17 есть пункты 7 и 8 [4].в которых требуется исследовать напряженное состояние произвольной точки двутавра. (Выполнение этой части задачи необязательны для студентов заочной формы обучения, студенты дневной и вечерней форм обучения могут выполнять эти пункты по требованию преподавателя) Эта часть задачи не имеет отношения к проверке прочности двутавра, носит академический характер и необходима для лучшего освоения теории изгиба. После того, как Вы выбрали произвольную точку, расположенную в сечении, где и Q, и М не равны нулю, найдите нормальное и касательное напряжения в этой точке по формулам (4.1), (4.2), используя те навыки, которые Вы приобрели при определении напряжений в опасных точках. Выделите вокруг исследуемой точки элементарный параллелепипед (элемент) и покажите на рисунке действующие на гранях элемента напряжения с учетом их знаков. Дальше определите главные напряжения и положение главных площадок, применяя знания, полученные при изучении разд. 2 "Исследование плоского напряженного состояния" в [5]. Поверните на рисунке элемент по главным направлениям и покажите на его гранях главные напряжения.

Пример 3

Условие задачи

Рис. 4.12. К решению примера 3 о проверке прочности балки: а – схема балки с нагрузками; б – эпюры поперечной силы и изгибающего момента; в – опасные сечения и опасные точки

На балку моносимметричного сечения, выполненную из чугуна, действует нагрузка, показанная на рис. 4.12, а. Поперечное сечение балки изображает рис. 4.13. Надо найти грузоподъемность балки, т. е. значение допускаемой нагрузки, при которой обеспечена прочность балки.

Решение

Найдем геометрические характеристики заданного поперечного сечения: осевые моменты инерции относительно главных центральных осей. Сечение имеет только одну ось симметрии, эта ось является одной из главных осей инерции. Обозначим ее z. Вторая главная ось y проходит через центр тяжести сечения. Определим положение центра тяжести сечения по формуле

.

Рис. 4.13. Поперечное сечение балки

Статический момент определяем относительно произвольной оси а–а, перпендикулярной оси z (оси симметрии), как сумму статических моментов фигур, составляющих заданное поперечное сечение. В данном случае сечение разбиваем на три прямоугольника и площадь сечения состоит из площадей трех фигур: двух стенок Ас и полки Ап: . Ось а–а рационально расположить так, чтобы статический момент одной из фигур равнялся нулю. Это произойдет, если ось а–а провести через центр тяжести какой-то фигуры, например, через центр тяжести полки (см. рис. 4.13). Тогда статический момент полки равен нулю и полный статический момент Sa равен удвоенному статическому моменту стенки:

.

Здесь первый множитель – удвоенная площадь стенки, второй – координата центра тяжести стенки[5].

Найдя положение центра тяжести сечения, проведем через него вторую главную ось y (см. рис. 4.13). Рекомендуем рисовать сечение в масштабе, тогда по масштабу можно проконтролировать правильность определения центра тяжести сечения. В данном случае очевидно, что центр тяжести должен быть смещен к полке.

Теперь определим осевой момент инерции относительно оси y. Находим его как сумму моментов инерции трех фигур: двух стенок () и полки (). Для определения момента инерции каждой фигуры используем формулу

.

Здесь – момент инерции фигуры относительно оси y0, проходящей через центр тяжести фигуры и параллельной оси y, а – расстояние между осями y и y0. Таким образом,

.

Расстояния h1 и h2 показаны на рис. 4.13. Моменты инерции полки и стенки относительно собственных осей y0 находим по формуле, справедливой для прямоугольника (4.4),

,

где b – ширина прямоугольника (параллельна оси y0); h – его высота. Например, для полки

.

Примечание. Рекомендуем для тренировки аналогично найти момент инерции поперечного сечения относительно оси z, несмотря на то, что в проверке прочности этой балки он не участвует.

Строим эпюры поперечной силы и изгибающего момента, выражая ординаты через неизвестный параметр нагрузки (в данной задаче через q – см. рис. 4.12, б).

Прежде чем находить положение опасных сечений и опасных точек по эпюрам Q и М, выясним как рационально расположить поперечное сечение балки: полкой вверх или полкой вниз. Поскольку чугун – хрупкий материал и прочность при растяжении у него меньше прочности при сжатии, оптимальным положением сечения является такое положение, при котором максимальные растягивающие напряжения будут меньше максимальных по модулю сжимающих напряжений. В рассматриваемом примере максимальный изгибающий момент отрицателен, то есть балка в сечении, где действует , изгибается выпуклостью вверх и растягивающие напряжения будут в верхних волокнах. Поэтому располагаем поперечное сечение так, чтобы центр тяжести сечения был ближе к верхним волокнам, т. е. полкой вверх.

Найдем положение опасных сечений и опасных точек так же, как в двутавровой балке (см. рис. 4.12, в). Поскольку максимальная поперечная сила и наибольший изгибающий момент действуют в данном примере в одном сечении, то опасные точки 1, 1¢, 2 и 3 расположены в одном сечении а–а. Особенностью расчета балок из хрупкого материала является то обстоятельство, что точки 1 и 1¢ не являются равноопасными. Так как хрупкий материал имеет разную прочность при растяжении и сжатии, то проверять прочность надо как в точке 1, в которой действуют максимальные растягивающие напряжения, так и в точке 1¢ с наибольшими сжимающими напряжениями. Если эпюра изгибающих моментов меняет свой знак, как в рассматриваемом примере, то появляется еще одна опасная точка – точка 4 (см. рис. 4.12, в). В этой точке действуют растягивающие напряжения, и поскольку она расположена дальше от нейтральной оси, чем точка 1, величина растягивающего напряжения в точке 4 может оказаться больше, чем в точке 1 несмотря на то, что изгибающий момент в сечении b–b меньше, чем в сечении а–а.