Сопротивление материалов (стр. 8 )

При использовании правил Клебша изгибающий момент на каждом последующем участке равен моменту на предыдущем участке плюс некоторая добавка, поэтому выражение для изгибающего момента принято для всех участков записывать в одну строку, отделяя участки чертой. Например, выражение для изгибающего момента в балке, показанной на рис. 4.16, с учетом правил Клебша будет выглядеть следующим образом:

.

Такая запись означает, что выражение для изгибающего момента на первом участке () содержит одно слагаемое, функция изгибающего момента на втором участке () имеет уже три слагаемых и, наконец, в выражение для изгибающего момента на третьем участке () входят все пять слагаемых. Римская цифра в низу разделяющей черты показывает номер участка. В общем случае все члены, находящиеся левее черты с номером участка, входят в выражение для момента на указанном участке. Подставляя выражение для изгибающего момента в дифференциальное уравнение (4.16) и интегрируя его, найдем прогиб и угол поворота произвольного сечения. Две произвольные постоянные, возникающие при интегрировании, находим из граничных условий.

Приведем примеры записи граничных условий для разных балок. В балке, изображенной на рис. 4.16, на левом и правом ее концах находятся шарнирные опоры, которые запрещают вертикальные перемещения. Поэтому прогибы в точках и равны нулю и граничные условия для этой балки (так же, как и для балки на рис 4.14, б) будут такими:

;

.

Сечение А балки на рис. 4.14, а, в котором расположено жесткое защемление, не может ни перемещаться по вертикали, ни поворачиваться, поэтому граничные условия для этой балки

;

.

Для консольной балки, показанной на рис. 4.14, в, следует записать такие граничные условия:

;

.

Можно показать, что для балки с произвольным числом участков при использовании правил Клебша произвольные постоянные и имеют следующий геометрический смысл:

; (4.19)

, (4.20)

где и соответственно прогиб и угол поворота балки в начале координат. Знание геометрического смысла постоянных С и D позволяет рационально выбирать начало отсчета х и анализировать результаты. Например, при выборе начала отсчета координаты х следует помещать начало координат в тот конец балки, где есть какое-нибудь закрепление. Так, в балке на рис. 4.14, а, где начало координат помещено в точку А с жестким защемлением, следует ожидать, что произвольные постоянные С и D будут равны нулю, так как в точке А не возможны никакие перемещения (). У балки, показанной на рис. 4.14, б, начало отсчета х находится в шарнирной опоре, поэтому произвольная постоянная D будет равна нулю (), а так как сечение в шарнире А поворачивается по часовой стрелке, то следует ожидать, что постоянная С будет положительна. Наконец, согласно рис. 4.14, в точка оси, расположенная в начале координат перемещается вниз, а сечение в начале отсчета х поворачивается против часовой стрелки, поэтому в соответствии с геометрическим смыслом произвольных постоянных в данной балке должно получиться, что С < 0, а D > 0.

Метод Максвелла – Мора определения перемещений

Рис. 4.17. Два варианта обобщенных сил и соответствующих им обобщенных перемещений

Метод Максвелла – Мора определения перемещений является универсальным методом, справедливым, в отличие от рассмотренного выше аналитического способа, не только для балок, но и для любых стержневых систем. Чтобы понять сущность метода Максвелла – Мора, введем понятия обобщенной силы и обобщенного перемещения [2]. Обобщенной силой называется любое однопараметрическое силовое воздействие: это может быть и сосредоточенная сила, и сосредоточенный момент, и распределенная нагрузка, и группа сил, связанных между собой. Обобщенным перемещением, соответствующим заданной обобщенной силе, называется то перемещение, на котором обобщенная сила совершает работу. Приведем два самых важных для практики примера. Если обобщенной силой (о. с.) является вертикальная сосредоточенная сила, приложенная в точке А балки, то соответствующим этой силе обобщенным перемещением (о. п.) является перемещение по направлению этой силы, то есть прогиб в точке А (рис. 4.17, а), так как именно на таком перемещении сила F совершает работу. Если обобщенной силой является сосредоточенная пара сил, приложенная в точке В, то обобщенным перемещением, соответствующим этой обобщенной силе, будет угол поворота в сечении В (рис. 4.17, б).

Запишем приближенную формулу Максвелла – Мора, которая используется для определения перемещений в изгибаемых плоских стержневых системах и не учитывает влияния на перемещения продольной и поперечной сил:

. (4.21)

В этой формуле – искомое обобщенное перемещение (это может быть и прогиб, и угол поворота любого сечения); М – изгибающий момент от заданной нагрузки; Мi – изгибающий момент, вызванный единичной обобщенной силой, соответствующей искомому перемещению; EI – жесткость стержня при изгибе (произведение модуля упругости на момент инерции). Интегрирование в формуле Максвелла – Мора ведется по длинам всех стержней конструкции (по длинам всех участков балки).

Таким образом, чтобы воспользоваться формулой Максвелла – Мора, надо:

1) определить изгибающий момент на каждом участке от заданной нагрузки;

2) освободить конструкцию от заданной нагрузки и загрузить ее единичной обобщенной силой, соответствующей искомому перемещению, то есть:

·  если мы хотим определить вертикальное перемещение какой-то точки, то в этой точке следует приложить сосредоточенную силу, положить ее равной единице и найти изгибающий момент, вызванный действием только этой силы;

·  если требуется найти угол поворота какого-то сечения, то в этом сечении надо приложить сосредоточенную пару, равную единице, и найти изгибающий момент от этой пары;

3) подставить произведение изгибающих моментов от нагрузки и от единичной обобщенной силы в интеграл (4.21) и проинтегрировать по всей длине конструкции.

Введем правило знаков в методе Максвелла – Мора: полученный по формуле Максвелла – Мора положительный знак перемещения показывает, что искомое перемещение происходит по направлению, совпадающему с принятым направлением единичной обобщенной силы, отрицательный знак перемещения говорит о том, что точки оси перемещаются (сечения поворачиваются) в сторону, противоположную направлению единичной обобщенной силы.

Очень распространенным способом интегрирования формулы Максвелла – Мора является способ графического интегрирования, называемый правилом Верещагина. Для того, чтобы воспользоваться правилом Верещагина, надо построить графики функций М и , входящих в подынтегральное выражение формулы Максвелла – Мора. Такими графиками являются эпюры М и . Операция интегрирования формулы Максвелла – Мора с помощью правила Верещагина носит название "перемножение эпюр". Правило Верещагина состоит в следующем:

1.  Разбиваем эпюру М на простые фигуры, для которых известно положение центра тяжести (прямоугольники, треугольники и т. п.)[8].

2.  Находим площади этих фигур . При определении площадей учитываем знаки ординат.

3.  Под центрами тяжести этих фигур находим ординаты на эпюре (с учетом знаков).

4.  Искомый интеграл будет равен (при постоянной жесткости балки ) сумме произведений площадей на соответствующие им ординаты под центрами тяжести , то есть

, (4.22)