Сопротивление материалов (стр. 16 )

; (4.34)

; (4.35)

, (4.36)

где – площадь прямоугольника (, ); a, b – координаты центра тяжести прямоугольника в системе координатных осей xc, yc; , – моменты инерции прямоугольника относительно собственных центральных осей x0, y0, параллельных осям xc, yc. Если ось x0 (или y0) расположена вдоль рассматриваемого участка трубопровода, то есть параллельна стороне прямоугольника li, то можно считать (или ). Если же ось x0 (или y0) перпендикулярна стороне li, то . В формуле (4.36) учтено, что центробежный момент инерции прямоугольника относительно собственных осей x0, y0 равен нулю, так как эти оси являются главными осями инерции прямоугольника.

После определения величин лишних неизвестных по формулам (4.30) – (4.32) строим эпюры внутренних усилий в основной системе, как в обычной статически определимой раме. Эпюру изгибающих моментов можно проверить следующим образом. В упругом центре приложим найденные силы Х1 и Х2, нарисовав их в масштабе. Определим графически равнодействующую этих сил. Точки пересечения линии действия этой равнодействующей с осью рамы – это точки, в которых изгибающий момент должен равняться нулю (точки A, B, D на рис. 4.46, б).

Построив эпюры внутренних усилий, проверим прочность конструкции, имея в виду, что поперечное сечение стержней рамы – труба и, кроме температурного воздействия, труба испытывает действие внутреннего давления. Максимальные нормальные напряжения sх, действующие на площадках, перпендикулярных оси трубы, находим, складывая напряжения от продольной силы и максимального изгибающего момента в опасном сечении рамы[13]:

. (4.37)

Для проверки прочности трубы из пластичного материала по формуле (4.37) находим максимальное по модулю напряжение. Если труба выполнена из хрупкого материала, при проверке прочности важен знак напряжений. Кольцевое напряжение sq, возникающее от внутреннего давления q, определяем по формуле

, (4.38)

Рис. 4.47. К определению напряжений в трубе: а – распределение напряжений sх в опасном сечении; б – напряженное состояние опасных точек

где R и d – соответственно внешний радиус и толщина трубы. Напряжение sq всегда растягивающее. На рис 4.47, а показана эпюра распределения напряжений sх в опасном сечении при положительной продольной силе. Рис. 4.47, б изображает напряженное состояние опасных точек 1, 1¢. Так как касательные напряжения на площадках элементов, показанных на рис. 4.47, б, отсутствуют, то эти площадки являются главными. Проверку прочности в опасных точках осуществляем по теории прочности, соответствующей материалу трубы.

Пример расчета трубопровода (задача № 26)

Условие задачи

Трубопровод, показанный на рис. 4.48, а, нагревается на DТ градусов и подвержен действию внутреннего давления q. Труба имеет внешний радиус поперечного сечения R и толщину d. Известен материал трубы. Требуется найти напряженное состояние и обеспечить выполнение условия прочности трубопровода.

Решение

Рис. 4.48. К примеру расчета трубопровода: а – заданная система; б – основная система; в – положение упругого центра

Выберем основную систему, отбросив левое закрепление и приложив реактивные силы (лишние неизвестные) Х1, Х2 и Х3 (рис. 4.48, б). Для определения значений лишних неизвестных по формулам (4.30) – (4.32) найдем сначала положение упругого центра и геометрические характеристики ,и .

Координаты упругого центра в системе координат xОy сосчитаем по формулам (4.33), где

м.

Статический момент относительно оси х равен сумме статических моментов четырех прямоугольников единичной толщины:

.

Статический момент третьего участка трубопровода (третьего прямоугольника) , так как центр тяжести этого прямоугольника лежит на оси х, а статические моменты остальных прямоугольников найдем следующим образом:

м2,

где – площадь первого прямоугольника, а (–) – координата центра тяжести. Аналогично

м2,

м2.

Таким образом,

м.

Вторая координата упругого центра

м.

Отложим эти координаты на рисунке и покажем точку С – упругий центр. Проведем через точку С центральные оси xc, yc (рис. 4.48, в). Найдем моменты инерции фигуры относительно этих осей. Момент инерции относительно оси хс равен сумме моментов инерции четырех прямоугольников:

.

Сосчитаем момент инерции первого прямоугольника относительно оси хс по формуле (4.34). Для рассматриваемого прямоугольника собственная ось х0 перпендикулярна стороне l1, поэтому первый член в (4.34) (момент инерции первого прямоугольника собственной оси х0 ) не равен нулю. Таким образом, момент инерции относительно оси хс

м3.

Для второго прямоугольника момент инерции относительно

оси хс

м3.

Поскольку ось х0 параллельна стороне прямоугольника l2, то первое слагаемое в формуле (4.34) отсутствует (). Аналогично находим моменты инерции остальных прямоугольников:

м3;

м3.

И полный момент инерции относительно оси хс равен м3. Так же вычислим момент инерции относительно оси yc каждого прямоугольника:

м3;

м3;

м3;

м3.

Полный момент инерции относительно оси yc равен сумме моментов инерции всех прямоугольников м3.

Найдем центробежный момент инерции. Момент инерции каждого прямоугольника определим по формуле (4.36). Обратим внимание на то, что, если при вычислении осевых моментов инерции знаки координат а и b можно опускать, так как они входят в формулы (4.34), (4.35) в квадрате, то при вычислении центробежного момента инерции эти знаки следует обязательно учитывать. Тогда

м3;

м3;

м3;

м3.

Полный центробежный момент инерции м3.