Основы теории оптимизации (стр. 91 )

Для такой схемы решение смешанной задачи Коши (с краевыми условиями) на не­котором слое t* можно рассматривать как начальное условие для всех последующих слоев по t.

Определение: Двуслойная схема называется равномерно устойчивой по начальным данным, если при постановке начальных данных на любом слое t*, (t0≤t*<t<Т) она по ним устойчива, причём эта устойчивость равномерна по t*.

Для линейных разностных схем это означает, что С>0 не зависящее t* и h и

(7")

где y1(x; t), y2(x; t) — решение разностной задачи с одинаковой правой частью Аhy = φh, но различными начальными данными χ1,2| t*.

Из равномерной устойчивости (7") следует (7') (но не наоборот). Теорема 1. (достaточный признак равномерной устойчивости):

Пусть y1(x; t) и y2(x; t) решения разностной задачи Аhy = φh, с одинаковой пра­вой частью, отвечающие различным начальным условиям χ1,2| t*=t0. Тогда для равно­мерной устойчивости {Ah; Rh} по начальным данным достаточно, чтобы для всех слоев по t имело место

(8)

Доказательство: Если на некотором слое t* в решении содержится ошибка δy, то при переходе на следующий слой она возрастает не больше чем в (1 + Сτ) ≤ еСτ раз. При достижении слоя Т за шатов ошибка возрастает не более, чем в еС(Т-t*) раз, то есть не более чем в еС(Т-t0) раз. Следовательно

Эта оценка равномерна по t* и h.

Фактический рост погрешности не более чем враз.

Теорема 2. (признак устойчивосги двуслойной разностной схемы но правой части):

Пусть двуслойная разностная схема Ahу = φh равномерно устойчива по началь­ным данным и такова, что если два её решения Ahу1,2 = φ1,2 на некотором слое tm равны y1(х;tm) = y2(х;tm), то на следующем слое tm+1 выплнено соотношении

С - const (не зависит от h), в таком случае разностная схема устойчива по правой части φh .

Доказательство: Итак, пусть возмущение связанно только с правой частью φ. Тогда пусть y(x;t) - решение невозмущённой разностной задачи Аhy = φ; (х; t) — решение возмущённой разностной задачи Аи =, причём y(t0) = (t0) (ибо нас интересует только возмущение правой части).

Введём в рассмотрение последовательность сеточных функций {zm(x;t)}m=i,2,..., определенных при t ≥ tm-1 из условий:

На каждом из слоев t [tm-1, tm] решение возмущённой задачи (t) совпадает с соогвегсгвующей функцией zm(t) поскольку в точку tm-1 начальное условие прине­сено функцией zm-1, удовлетворяющей возмущенному уравнению на соответствую­щем отрезке t. Аналогично на предыдущем слое и так далее, пока мы не попадём в начальную по t точку. В точке t = tm-1 и и zm-1 имеют то же начальное» условие и на интервале (tm-1, tm) удовлетворяют возмущенной задаче Ah(•)= .

Далее, при t (tm, tm+1), функции zm+1(t) и zm(t) совпадают в точке tm и удовле­творяют различным уравнениям. Тогда:

2) В силу равномерной устойчивости нашей задачи по начальным данным при t ≥ tm+1 функции zm+1(t) и zm(t) удовлетворяют одному уравнению по разностным начальным условиям. В таком случае на последнем временном слое tM получим:

Откуда:

Таким образом, имеет место устойчивость разностной схемы по правым частям.

Замечание: Сформулируем без доказательства достаточные условия устойчивости двуслойной разностной схемы

Если А и В > 0, при мм В ≥>0, то

то есть схема устойчива в А-энергетической норме по начальным данным.

2.4. Сходимость разностной схемы

Решая сеточную задачу (3)-(4) нас естественно интересует близость сеточного ре­шения у(х) к решению и(х) задачи (1)-(2). Разностное решение у(х) сходится к решению и(х), если

(10)

Разностное решение имеет порядок точности k, если

(10′)

(или обладает сходимостью порядка k).

Напомним ещё раз, что мы рассматриваем лишь корректные разностные схемы (3)-(4), то есть решение разностной схемы существует и единственно при любых входных данных φ и χ из заданных классов функций и схема устойчива по входным данным (её решение непрерывно от них зависит).

Теорема 3: Если решение задачи (1)-(2) u [f,μ] существует, разностная схема (3)-(4) корректна и аппроксимирует задачу (1)-(2), то разностное решение у[(φ, χ] сходится к точному:

("Аппроксимация + Устойчивостъ Сходимость").

Доказательство: Запишем невязку разностной схемы (3) (4).

(*)

Функция и(х) удовлетворяет задаче (*) — возмущённой задаче (3)-(1). Так как схема устойчива, то ε > 0 δ (ε) > 0

|| ψh ||< δ (ε), ||ηh ||< δ (ε) ||у-и||<ε.

В силу аппроксимации δ > 0, h0, h < h0 имеет место

Таким обраючг:имеем

то есть у → и при h →0 .

Замечания:

Если какое-либо данное нам условие аппроксимировано точно, то устойчивость по ним можно не требовать, так как они не вносят погрешности в решение (кроме ошибок округления, тогда устойчивость по этим данным нужна).

Для условной аппроксимации (или устойчивости) сходимость тоже носит условный характер.

Для линейных разносхных схем имеет место:h

Теорема 4. Пусть выполнены условия Теоремы 1, схема Ah, Rh линейна и имеет порядок аппроксимации k, то схема (3)-(4) сходится и её точность (сходимость) не ниже порядка k (порядка аппроксимации).