Основы теории оптимизации (стр. 93 )

Тогда

Поэтому

(**)

С другой стороны, найдем на слое (т + 1) узел t0 где ynm+1 принимает минимальное значение:

Тогда

и

(* * *)

Объединяя (**) и (***), найдем:

что совпадает с условием (*) при С1 = 0, C2 = 1. Таким образом, неявная схема (σ = 1) безусловно устойчива по входным данным (при любых τ и h).

б) Устойчивость чисто явной схемы (σ = 0):

Для чисго явной схемы уравнение (14.1) имеет вид

Откуда

Пусть (1 — 2γ) > 0, то есть 0 < γ <, гогда

Tем самым

Итак при

(15)

явная схема устойчива. Это условие накладывает жесткие ограничения на временной шаг сетки:

(15*)

Покажем, что при γ >явная схема неустойчива в чебышевской норме. Для этого достаточно показать, что, однажды возникнув, ошибка в решении будет при дальнейших вычислениях неограниченно возрастать. Рассмотрим однородною задачу (без правой части) Соответствующие возмущения - это возмущения начальных условий на данном слое. Схема при этом имеет вид

Пусть на т - ом слое возникла ошибка δyтп, тогда

и, поскольку - это решение той же схемы,

то в силу линейности нашей задачи, получаем уравнение для ошибки

Предположим, что ошибка является быстро осциллирующей функцией и имеет вид

где ε - некоторое достаточно малое число, тогда

Но, так как γ > 1/2, то 4γ > 2 и

Следовательно через k временных слоев

Уменьшение шага τ (при γ > 1/2) не спасает, ибо при фиксированном Т растет обьем неустойчивых вычислений (за счег числа шагов), следовательно и ошибка. Значит явная схема σ =0 при

— неустойчива.

Замечания:

1) В силу устойчивости наших схем, мы показали, чтоЭто неравенство доказывает принцип максимума для наших схем: Пусть φ = 0 тогда

таким образом, во внутренних точках t и х норма решения не превосходит норму начальных условий.

2) В сеточном аналоге нормы L2 методом гармоник (далее) можно показать, чю схема (14) устойчива при

(15')

В частности

a) σ = 1\2 - безусловно устойчивая схема.

b) Схема с σ = 0 устойчива при условии

3) Можно показать, что в С схема (14) устойчива по входным данным при

(15")

В частности схема с σ= 0 устойчива при условии

3.4 Сходимость разностной схемы (14)

Рассмотрим погрешность сеточного решения

итп= и (xп,tm) при простейшем способе проектирования u(x, t) на сетку Ω.

Мы показали, что при наличии аппроксимации и устойчивости разностной схемы она обладает сходимостью, и порядок точности схемы (14) не ниже её порядка аппроксимации. В нашем случае имеет место равномерная сходимость либо сходимость в среднем (в той же метрике, где есть и устойчивость). Поэтому для погрешности сеточного решения имеем оценки

(16)

При этом для обеспечения соответствующей аппроксимации, решение задачи (11) должно обладать указанной гладкостью.

3.5 Алгоритмы численного решения задачи (14). Прогонка

Сделаем краткое замечание относительно способов решения задачи (11).

а) В случае явной схемы (σ = 0). Ллгорит м очевиден и определяется написанной явной формулой:

(14*)

Напомним, что γ < 1/2 .

б) Для неявной схемы (σ = 1). Решение на (т + 1 )-ом временном слое находим из формул

что приводит к алгебраической системе

(14**)

Это СЛАУ с трехдиагональной матрицей, имеющей диагональное преобладание Вп ≥ Ап +Сп. В таком случае решение существует и единственно. Решение да­ется формулами прогонки. Вычисления устойчивы. Общий объем вычислений при переходе на (т + 1)-ый слой O(9N) действий и требуется всего О(3N ) ячеек памяти для хранения матрицы СЛАУ.

Замечания: Мы рассмотрели однопараметрическое семейство схем (14) для одно­мерного уравнения теплопроводности.

Явная схема (σ = 0) алгоритмически наиболее проста, но требует выполнения жестких условий устойчивости , поэтому используется редко.

Широкое применение имеет схема σ = 1\2, повышенной точности О(h2 + τ2) - безусловно устойчивая схема.

Схемы с σ = 1\2, σ = 1 особенно эффективны для уравнениий с переменными коэф­фициентами или для квазилинейных уравнениий.

4. Разностные схемы для одномерного уравнения колебаний

4.1 Постановка задачи. Разностная схема "крест"

Рассмотрим задачу для уравнения колебаний на отрезке с краевыми условиями 1-го рода (задачa Дирихлe)

начальные условия

(17)

краевые условия 1-го рода

Введём обозначения

и, используя метод разностной аппроксимации, построим схему «крест» для одномерного уравнения теплопроводности.

Разностная аппроксимация самого уравнения;

(18.1)

При аппроксимации правой части мы использовали метод неопределенных коэффициентов.

Начальное условие для функции и(х) аппроксимируется точно

Аппроксимация краевых условий также не вносит дополнительных погрешностей η3≡ 0 и η4≡ 0

При аппроксимации начального условия для производной

порядок аппроксимации зависит от способа построения сеточной функции χ2. Простейшая аппроксимация

χ2п= μ2 (хп) η2≡ О(τ) .

Если использовать само уравнение, то можно получить более аккуратную аппроксемацию начального условия

Допустим: