Основы теории оптимизации (стр. 92 )

Доказательство: Рассмотрим погрешность разностного решения

z(x) = у(х) — и(х).

Мы получили для решения исходной задачи разностную схему, возмущённую невяз­ками

Вычитая эти уравнения из cooтветствующих уравнений (3)-(4), найдём:

(**)

Схема (**) устойчива, то есть

Но. поскольку исходная схема (3)-(4) обладает аппроксимацией порядка к, то

Фактическая сходимость может иметь более высокий порядок.

3. Разностные схемы для одномерного уравнения теплопроводности

3.1 Постановка задачи. Разностная схема

Рассмотрим задачу о распространении тепла на отрезке в случае простейших крае­вых условий 1-го рода (условий Дирихле)

иt = а2ихх + f(x,t), 0 < х < l, t>0

начальные условия

u(x,0) = μ1(х)≡μ(x) (11)

однородные краевые условия

а) Конечно-разностная аппроксимация простейших дифференциальных операторов первого порядка.

Введем в области D=[0, l] × [0, T] сетку Ω≡ωh× ωτ, где

Рассмотрим сеточную функцию у(хп, tm)=утп=у на сетке Ω≡ωh,τ. Построим сеточные аналоги простейших дифференциальных операторов первого порядка:

(12)

Их аппроксимация Lhu — (Lu)h имеет следующий порядок:

Для производной вперед lx

т. е. обладает аппроксимацией 1- го порядка.

Аналогично

Центральная производная имеет повышенный порядок аппроксимации

b) Конечно-разностная аппроксимация простейших дифференциальных операторов второго порядка.

Определим вторую разностную производную для узла хі (рекурентно):

(13) Получим её порядок аппроксимации

Аналогично мы можем построить аппроксимации и более сложных производных.

Разностная схема. После аппроксимации простейших дифференциальных опера­торов, вернемся к уравнению (11.1).

Используя так называемый метод разностной аппроксимации, мы можем каждый из дифференциальных операторов задачи (11) аппроксимировать соответствующим разностным оператором (12), (13). Производная вперед по t для (п, т)-го узла

Это выражение рассматривается относительно текущего узла хп на двух слоях по t.

Пространственные производные второго порядка аппроксимируются разностным оператором

При построении такой разностной аппроксимации на ωh,τ мы использовали шаблон из четырех узлов.

Относительно (т + 1)-го временного слоя схема получилась явной - с (т + 1)-го временного слоя используется только одно значение сеточной функции. В дальней­шем мы покажем, что простешая явная схема не является наилучшей в смысле аппроксимации и, особенно, устойчивости. Поэтому сразу же рассмотрим однопараметрическое семейство схем на шеститочечном шаблоне:

При σ= 0 получается чисто явная схема, при σ= 1 - чисто неявная схема. При аппроксимации правой части f(х, t)φтп мы использовали, так называемый, метод непрерывных коэффициентов в простейшей его форме, когда подбирается всего один коэффициент φтп (без дополнительного сложного шаблона). Итак, получаем разностную задачу:

(14)

Уравнениие (14.1) записано относительно внутренних узлов (п, т) сетки . При ап­проксимации начальных и краевых условий мы также использовали метод неопреде­ленных коэффициентов. Теперь изучим свойства построенной разностной схемы.

3.2. Порядок аппроксимации разностной схемы (14)

Напомним еще раз, что для определения порядка аппроксимации разностной схемы (14), нужно точное решение (11) подставить в эту схему и, в предположении достаточной гладкости решения u(x,t), определить порядки невязок ψ и η по h и τ.

Одновременно с этим, мы проследим идею метода неопределенных коэффициен­тов, выбираемых из соображений обеспечения максимального порядка аппроксима­ции (на примере построения φтп и частично χп).

Введем в рассмотрение промежуточный слой по t :

Toгда

а) временнáя часть:

б) пространственная часть:

Здесь чертой сверху обозначено значение функции в точке (xn;tm+1/2). Следовательно,

Таким образом подстановка и (х, t) в разностное уравнениие (14.1) дает

В силу задачи (11) подчеркнутые члены анулируются, если в уравнении есть слагаемое f(хп,) . Таким образом, если мы хотим обеспечить аппроксимацию задачи (11), необходимо:

Тогда:

1) при σ≠1\2 мы получаем аппроксимацию уравнения (11.1) с порядком О (τ2 +h2);

2) при σ=1\2 мы получаем повышенный порядок аппроксимации О(τ2+h2) (обра­тим внимание на наличие симметрии в сеточном шаблоне).

3) Аппроксимация начальных условий в этой задаче тривиальна:

χ0n=μ(хп,t0)

чтобы не вносить дополнительной погрешности (η1≡ 0) .

3.3. Устойчивость разностной схемы (14)

Напомним еще раз: .линейная схема (14) называется устойчивой по входным дан­ным (по правой части и начальным условиям), если при достаточно малых h и τ существуют С1,С2 (не зависящие от h и τ), такие что,

то есть, решение непрерывно зависит от правой части и начальных условий.

Устойчивость разностной схемы, а следовательно и её сходимость при наличии ап­проксимации, мы покажем в равномерной (чебышевской) метрике:

(сеточный аналог равномерной по t и х метрики).

Введем норму сеточного решения на m-ом слое:

В силу Теоремы 1 (о достаточном условии равномерной устойчивости линейных раз­ностных схем по начальным условиям) и Теоремы 2 (достаточного условия устойчи­вости линейной разностной схемы по правой части), нам достаточно показать, что, если существуют С1 ≥ 0 и С2 > 0 и

(*)

то схема устойчива по входным данным.

Ограничимся исследованием устойчивости в двух предельных случаях: чисто неяв­ной (σ = 1) и чисто явной (σ = 0) схем.

а) Устойчивость чисто неявной схемы (σ=1): Рассмотрим разностное уравнениие (14.1):

Обозначимтогда

Покажем, что в этом случае (σ = 1) достаточное уетовие устойчивости (*) выпол­нено. Найдем на слое (т + 1) тот узел k0, в котором ynm+1 принимает наибольшее значение: