Основы функционирования систем сервиса (стр. 6 )

Масштабным коэффициентом физической величины называют отношение числового значения физической величины в свойственных ей единицах к длине отрезка (в мм), изображающего эту величину. Масштаб и масштабный коэффициент являются взаимно обратными величинами. Масштабные коэффициенты употребляются чаще, так как их применение аналогично использованию цены деления в приборах. В дальнейшем изложении указываются только масштабные коэффициенты, которые обозначаются буквой m с индексом, указывающим к какой величине они относятся. Например: ml=lАВ/АВ—масштабный коэффициент длин, mv— масштаб скоростей; ma—масштаб ускорения. Соответственно их размерности будут: ml [м/мм]; mv [мс-1/мм]; ma [мс-2/мм].

Если необходимо построить траектории отдельных точек механизма или определить крайние положения ведомого звена, то:

1)  вычерчивают механизм в нескольких положениях в пределах одного цикла его работы;

2)  в начерченных положениях механизма отмечают положения точки, траектория которой должна быть построена;

3)  найденные положения точки соединяют последовательно между собой плавной кривой.

3.2. Построение плана скоростей на примере шарнирного четырёхзвенника

Для определения скоростей и ускорений применяются простейшие построения, известные под названием планов скоростей и ускорений. Эти построения начинаются с изображения плана механизма. На рисунке 3.2, а показан план шарнирного четырехзвенника, построенный в определенном чертежном масштабе для заданного значения обобщенной координаты j1 по известным длинам звеньев lAB, lBC, lCD, lAD и расположению точки Е на звене 2.

Задача об определении скоростей, которую будем решать построением плана скоростей, формулируется следующим образом. Дан план механизма с указанием всех размеров, его определяющих, и задана угловая скорость начального звена w1. Если задана частота вращения n1, то для определения w1 используется соотношение

w1=pn1/30 . (3.1)

Требуется найти для каждого звена механизма его угловую скорость и скорости одной или двух его точек. Решение задачи начинаем с определения модуля скорости точки В начального звена 1:

vB=w1lАВ. (3.2)

Изобразим скорость vB вектором, отложенным из некоторой точки р, называемой полюсом плана скоростей (рисунок 3.2, б). Этот вектор направлен перпендикулярно АВ в сторону, соответствующую направлению угловой скорости w1. В конце вектора поставим точку b. Длина отрезка рb может быть выбрана произвольно. Масштабный коэффициент скорости — mv=vB/(рb) [(м/с)/мм]. Можно также задаться значением mv и определить отрезок рb (в мм) из условия pb=vB/mv. Иногда принимают pb=AB, тогда mv=ml w1, а построения, проводимые при этом значении mv, называют построениями в масштабе кривошипа.

Затем находим скорость точки С, которая является общей для звеньев 2 и 3. Воспользовавшись теоремой о сложении скоростей в переносном и относительном движениях, напишем уравнение, связывающее скорости точек В и С. Переносным движением считаем поступательное движение звена 2 со скоростью точки В, а относительным—вращательное движение звена 2 вокруг точки В. Тогда на основании указанной теоремы получаем (двумя линиями подчеркнут вектор, известный по модулю и направлению, одной линией — известный только по направлению):

vС = vВ + vСВ , (3.3)

^CD ^AB ^CB.

где vСВ —скорость точки С во вращательном движении звена 2 относительно о точки в.

Векторное уравнение равносильно двум скалярным уравнениям; его можно заменить двумя уравнениями проекций векторов на координатные оси, лежащие в плоскости векторов.

Следовательно, из уравнения можно найти модули скоростей vС и vСВ Они находятся графическим построением треугольника векторов. Для этого из точки b проводим линию, перпендикулярную ВС (т. к. вектор vСВ перпендикулярен звену ВС), а из полюса р — линию, перпендикулярную CD. (направление вектора vС).В пересечении этих направлений находится точка с—конец вектора vС — искомой скорости точки С. Вектор скорости vСВ изображается отрезком cb, причем стрелка вектора направлена к точке с, соответствующей первой букве индекса. Скорость vВС по модулю равна скорости vСВ и направлена в противоположную сторону. Поэтому вектор скорости vВС также изображается отрезком bс=сb но стрелка вектора направлена к точке b (первой букве индекса). Для того чтобы указанное правило определения векторов скоростей соблюдалось, индексы у векторов скоростей в уравнениях следует располагать в принятой последовательности. Например, в уравнении сначала идет индекс С, затем В и далее СВ.

После того как определены скорости двух точек на звене 2, можно найти модуль угловой скорости этого звена [рад/с].

w2=vСВ /lСВ , (3.4)

где vСВ =mv(cb).

Для определения направления (знака) угловой скорости звена 2 переносим вектор скорости vСВ в точку С и рассматриваем движение точки С относительно точки В в направлении скорости vСВ, В данном примере вращение отрезка CB, а следовательно, и угловая скорость w2 направлены против хода часовой стрелки, т. е. w2 имеет знак плюс. Определяем модуль угловой скорости звена 3

w3=vС /lСD , (3.5)

где vС =mv(pc).

Для определения направления угловой скорости звена 3 переносим вектор скорости vС в точку С и устанавливаем, что вращение звена 3 и угловая скорость w3 направлены против хода часовой стрелки.

Скорость точки Е можно найти из векторного уравнения, аналогичного:

vЕ = vВ + vЕВ , (3.6)

^ЕB.

Если вычислить модуль скорости vЕВ из условия vЕВ=w2lЕВ. Этого вычисления можно избежать, если дополнительно к уравнению записать уравнение:

vЕ = vС + vЕС , (3.7)

^ЕС

Приравнивая правые части уравнений, получаем уравнение:

vВ + vЕВ= vС + vЕС , (3.8)

^ЕB ^ЕС

Это уравнение можно решить простым построением. Из точки b проводим линию, перпендикулярную BE, а из точки с— линию, перпендикулярную СЕ. Точка пересечения этих линий есть искомая точка е конца вектора искомой скорости vВ .

Обратим внимание на то, что Dbce на плане скоростей (рисунок 3.2, б) подобен DBCE на плане механизма (рисунок 3.2, а) по взаимной перпендикулярности сторон.

Если bce показать в положении, симметричном относительно отрезка be, то сходность расположения Dbce и DBCE уже не будет.

Указанное свойство подобия справедливо для любого числа точек на звене механизма. Отсюда следует теорема подобия:

«Отрезки прямых линий, соединяющих точки одного и того же звена на плане механизма, и отрезки прямых линий, соединяющих концы векторов скоростей этих точек на плане скоростей, образуют подобные и сходно расположенные фигуры».

Теорема подобия дает возможность определить скорость любой точки звена, если известны скорости двух точек этого звена.

Рисунок 3.2

3.3. Построение плана ускорений

Уравнения, которые используются при построении плана ускорений, отличаются от уравнений для построения плана скоростей только разложением полных ускорений на отдельные составляющие. Например, полное ускорение точки В (рисунок 3.2, в) есть геометрическая сумма нормального и касательного ускорений:

aВ=anВ+atВ. (3.9)

Нормальное ускорение anВ направлено по линии АВ к центру А, касательное atВ — перпендикулярно АВ в сторону, соответствующую направлению углового ускорения e1 звена 1. Модули этих ускорений находятся из соотношений:

anВ = w12lАВ , (3.10)

atВ = e1lАВ . (3.11)

Приняв некоторую точку p за полюс плана ускорений (рисунок 3.2, в), отложим вектор, изображающий нормальное ускорение точки В в виде отрезка pn1. Тогда масштабный коэффициент (в (м/с2)/мм) найдется из соотношения

ma=anВ /(pn1). (3.12)

Можно также задаться значением ma и определить отрезок pn1 по условию:

pn1=anВ /ma.. (3.13)

Далее откладываем отрезок n1b=atВ/ma, изображающий касательное ускорение точки В, и получаем вектор полного ускорения точки aВ. Ускорение точки С находим из уравнения, аналогичного уравнению с разделением каждого ускорения на нормальную и касательную составляющие:

anC + atC = anВ + atВ + anCB + atCB. (3.14)

ççCD ^CD ççBA ^AB ççCB ^CB

Модули нормальных ускорений:

anC=vC2/lCD и anCВ=vCВ2/lCВ . (3.15)

Вектор anC, изображаемый отрезком pn3=anC/ma, должен быть направлен по линии CD к центру D, а вектор anCВ, изображаемый отрезком bn2=aCB/ma, — вдоль линии СВ ог точки С к точке В как центру вращения. Направления векторов касательных ускорений проводятся перпендикулярно направлениям нормальных ускорений через точки n2 и n3. Пересечение этих направлений определит точку с — конец вектора искомого ускорения точки С.