Глав 6. Статистические показатели и величины (стр. 12 )

Глава 9. Показатели формы ряда распределения

Для получения приближенного представления о форме распределения строят графики (полигон и гистограмму). Это позволяет судить о некоторых особенностях ряда распределения. Эти графики характеризуют эмпирическое распределение показателя, т. е. распределение, которое получено в результате проведения наблюдения. С увеличением числа наблюдений закономерность, характерная для данного ряда распределения, будет выявляться все более ясно. Анализ вариационных рядов предполагает выявление характера распределения, установление функции распределения, проверку соответствия эмпирического распределения теоретическому.

На практике встречаются различные типы распределений, среди которых можно выделить симметричные и асимметричные, одновершинные и многовершинные.

Рассмотрим некоторые характеристики ряда распределения.

Симметричным называется ряд распределения, в котором частоты любых двух вариантов, равноотстоящих от центра распределения, равны между собой. В симметричных рядах распределения средняя, мода и медиана равны: .

Асимметрия – это вытянутость одной из ветвей ряда распределения. Наличие асимметрии ряда свидетельствует о неустойчивости распределения, о преобладающем влиянии какой-либо группы факторов.

Рис. 9.1. Ряд распределения с левосторонней

и правосторонней асимметрией

В случае правосторонней асимметрии правая ветвь имеет большую продолжительность относительно максимального значения частоты или частости (Мо). При правосторонней асимметрии выполняется соотношение .

При левосторонней асимметрии левая ветвь имеет большую вытянутость относительно вершины графика. Для этого случая имеет место соотношение между модой, медианой и средней величиной .

Простейшим показателем асимметрии является разность , которая в случае правосторонней асимметрии положительна, а при левосторонней асимметрии — отрицательна. Чем больше разность между средней величиной и модой , тем больше асимметрия ряда.

Для сравнительного анализа степени асимметрии используется относительный показатель (предложенный английским статистиком К. Пирсоном):

,

где σ – среднеквадратическое отклонение.

Величина показателя асимметрии может быть положительной и отрицательной. Положительная величина этого показателя указывает на наличие правосторонней асимметрии, отрицательная величина на наличие левосторонней асимметрии (рис. 9.1). Принято считать, что:

-  если │As│< 0,25, то асимметрия незначительная;

-  если 0,25<│As│<0,5, то асимметрия умеренная;

-  если │As│>0,5, то асимметрия значительная

Пример. Изучим симметричность ряда распределения среднедушевого дохода населения за 2012 год (данные статистических исследований за 2012 год и расчеты приведены в табл. 9.1.).

Таблица 9.1.

Расчет асимметрии распределения среднедушевого дохода населения

№ п/п	Среднедушевые денежные доходы (руб в месяц)	fi (%)	∆i (руб в месяц)	xi (тыс руб в месяц)	xi·fi	xi²	xi²·fi	S
1	До 3500,0	2,2	1 500	2,8	6,05	7,56	16,64	2,2
2	3500,1–5000,0	3,8	1 500	4,3	16,15	18,1	68,64	6
3	5000,1–7000,0	7	2 000	6	42	36	252	13
4	7000,1–10000,0	12,2	3 000	8,5	103,7	72,3	881,5	25,2
5	10000,1–15000,0	18,9	5 000	13	236,3	156	2953	44,1
6	15000,1–25000,0	25,3	10 000	20	506	400	10120	69,4
7	25000,1–35000,0	13,2	10 000	30	396	900	11880	82,6
8	Свыше 35000,0	17,4	10 000	40	696	1600	27840	100
	Итого	100			2 002		54 012

Где ∆i – ширина интервала, xi – середина интервала, S – частота накопленным итогом.

Определим среднедушевой доход:

Модальный интервал 6 (табл. 9.1), определяется по максимальному значению частости (25,3). Рассчитаем моду:

Вычислим дисперсию:

Показатель Асимметрии Пирсона будет равен:

Можно сделать вывод, что распределение среднедушевого дохода населения имеет асимметрию левостороннюю (Аs < 0), незначительную (│Аs│< 0,25).

В статистике используются и ряд других показателей асимметрии. Например, показатель асимметрии, предложенный шведским математиком Линдбергом, рассчитывается по формуле

,

где Р – удельный вес (в процентах) значений признака, превосходящих значения средней величины.

Наиболее точным и распространенным для оценки асимметрии является показатель, основанный на определении центрального момента третьего порядка

,

где μ3 – центральный момент третьего порядка, вычисляемый по формуле:

σ3 – среднее квадратичное отклонение в третьей степени:

Применение последнего показателя As дает возможность не только определить степень асимметрии по выборке, но и ответить на вопрос о наличии или отсутствии асимметрии в распределении показателя в генеральной совокупности. Оценка степени существенности этого показателя производится с помощью средней квадратичной ошибки, которая зависит от объема выборочной совокупности (объема наблюдений) и рассчитывается по формуле

.

Если отношение , асимметрия существенна, и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным. Если отношение , асимметрия несущественна, ее наличие может быть объяснено влиянием случайных факторов.

9.1. Нормальное распределение. Показатели «пологости» ряда распределения

Установить тип распределения означает выразить механизм формирования закономерности в аналитической форме. Кривая распределения (полигон частот или гистограмма) отражает основной характер, «закон» данного распределения. Имея дело с эмпирическими распределениями, исследователь вправе считать, что каждому эмпирическому распределению можно найти характерное для него теоретическое распределение, т. е. получить аналитическое описание распределения частот в зависимости от значения показателя.

Многим явлениям и их признакам свойственны характерные формы распределения, которые аппроксимируются соответствующими кривыми. При всем многообразии форм распределения наибольшее распространение в качестве теоретических получили нормальное распределение, распределение Пауссона, биноминальное распределение и др.

В статистике часто обращаются к нормальному распределению

,

где у – ордината кривой распределения (частота); х – заданное значение показателя; – среднее значение показателя.

Именно в этом распределении выражается закономерность, возникающая при взаимодействии множества случайных независимых причин (факторов). Действие этих факторов независимо, и ни одна из причин не имеет преобладающего влияния над другими. В экономическом анализе часто производится сравнение полученных кривых распределения с точки зрения «нормальности» наблюдаемого процесса, т. е. насколько полученные распределения отличаются от нормального.

Особенности графика нормального распределения: