Глав 6. Статистические показатели и величины (стр. 4 )

, .

Теперь, чтобы получить действительную среднюю, надо учесть введенные ранее поправки:

.

Объединив весь процесс расчета, получим формулу

.

Средняя гармоническая

Средняя гармоническая величина, как и средняя арифметическая, может быть простой и взвешенной. Если веса у каждого признака равны, то используют среднюю гармоническую простую.

.

Пример на расчет средней гармонической простой. Необходимо вычислить среднюю скорость движения двух автомобилей, прошедших один и тот же путь, но с разной скоростью: первая – со скоростью 100 км/ч, вторая – 90 км/ч. Применяя метод средней гармонической, мы вычисляем среднюю скорость:

На практике чаще применяется средняя гармоническая взвешенная.

Пример на расчет средней гармонической взвешенной.

Предположим, в фирме, специализирующейся на торговле по почте на основе предварительных заказов, упаковкой и отправкой товаров занимается один работник. В первую половину дня (первые 5 часов) на обработку одного заказа затрачивает 20 мин., вторую (3 часа) – 30 мин. Каковы средние затраты времени на 1 заказ, если общая продолжительность рабочего времени 8 часов работников равна?

Среднее время, потраченное на обработку одного заказа 0,35 часа.

Рассмотрим процедуру выбора формул для расчета средних величин. Пусть требуется определить среднюю стоимость туристической путевки в Прибалтику по следующим данным (табл. 6.8).

Таблица 6.8

Данные о объеме продаж туристических путевок за месяц

Страна	Число покупок, шт.	Доход от продажи, долл.	Стоимость товара, долл.
f	fx	x
А	1	2	3
Литва	140	20 580	147
Латвия	100	14 500	145
Эстония	65	10 075	155
Итого	305	45 155	–

1 вариант расчета средней.

Средняя стоимость товара – это отношение общего дохода ко всему числу проданных товаров (покупок), т. е.

45 155 : 305 = 148 долл.

2 вариант.

Предположим, что мы располагаем только данными о числе покупок по каждой республике (гр. 1) и стоимости товара (гр. 3).

Следовательно, известно значение знаменателя и неизвестно значение числителя, но его можно рассчитать. Для этого стоимость товара в каждой республике необходимо умножить на количество проданных товаров в каждой республике. Таким образом:

долл.

В данном случае единственно возможным способом вычисления средней оказалось применение формулы средней арифметической:

.

3 вариант.

Предположим, что нам известны доход (гр. 2) и стоимость товара (гр. 3), т. е. известно значение числителя, но неизвестно значение знаменателя исходного соотношения. Их можно найти по имеющимся данным. Для этого доход, полученный от продажи, надо поделить на стоимость товара (по каждой республике в отдельности), а затем соотнести суммы дохода и числа покупок.

долл.

Расчет произведен по формуле средней гармонической

.

Таким образом, располагая различным набором данных, мы получили одинаковое значение средней величины – 148 долл, так как всякий раз определялось среднее значение одного и того же показателя, за одно и то же время, для одних и тех же объектов. Расчет по формуле средней гармонической взвешенной избавляет от предварительного расчета весов, поскольку эта операция заложена в саму формулу.

Средняя геометрическая

При применении средней геометрической значения признака представляют относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню. В данном случае средняя величина характеризует средний коэффициент роста. Эта средняя величина рассчитывается как корень степени n из произведения:

для несгруппированного ряда,

для сгруппированного ряда.

Средняя геометрическая используется для определения равноудаленной величины от максимального и минимального значения признака. Она используется как средняя из отношений или в рядах распределения, представленных в виде геометрической прогрессии. Ею удобно пользоваться, когда уделяется внимание не абсолютным разностям, а отношениям двух чисел. Чаще всего употребляется, когда требуется определить среднее изменение некоторой величины за ряд моментов времени, для которых даны относительные изменения величины за каждый промежуток времени по отношению к значению величины, достигнутому к концу предыдущего промежутка.

Средняя квадратичная величина используется для измерения степени изменения значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения.

.

Кроме перечисленных, существуют и другие средние величины, например средняя кубическая

.

Выбор конкретной формулы средней зависит поставленной задачи, располагаемых исходных данных и вида усредняемого признака.

6.3.2. Мода и медиана. Структурные средние величины

Основной характеристикой центра распределения является средняя величина, опирающаяся на всю информацию об изучаемом явлении. Однако в ряде случаев средняя величина должна быть дополнена и даже заменена модой или медианой.

Мода – это значение признака, наиболее часто встречающегося в данном ряду распределения, т. е. имеет наибольшую численность в ряду распределения.

Медиана – это значение признака у той единицы наблюдения, которая занимает в ранжированной (упорядоченной) последовательности этих единиц серединное значение.

Например, показатель среднего дохода, вычисленный как средняя величина, очень чувствителен к увеличению или уменьшению доли высокодоходных или низкодоходных групп населения. В статистике большинства развитых стран для характеристики общего уровня доходов приводится не средний, а медианный уровень, т. е. уровень, выше и ниже которого получает доход одинаковое число работников.

Еще одной характеристикой, применяемой при исследовании доходов, является мода, представляющая наиболее распространенный уровень дохода.

Отличие модального уровня доходов от среднего уровня заключается в том, что он характеризует действительный доход «среднего» человека, а не средний доход абстрактного человека.

Средний доход превосходит медианный и модальный, причем его рост происходит, в основном, за счет увеличения доли лиц, имеющих высокие доходы, т. е. использование показателя среднего дохода приводит к существенному завышению уровня доходов основной массы населения и в значительной мере скрывает процесс их дифференциации. Значение модального дохода тяготеет к низкодоходным группам населения и отклоняется от медианного дохода в меньшую сторону. Приведем в качестве примера показатели дохода населения за 2012 год по Санкт-Петербургу, Москве и Ленинградской области (табл. 6.9).

Таблица 6.9

Распределение доходов населения

	Среднедушевой доход, руб./мес.	Медианный доход, руб./мес.	Модальный доход, руб./мес.
г. Санкт-Петербург	27399	19464	9822
Ленинградская обл.	17283	13494	8225
г. Москва	48343	31365	1320

Примечание. Данные с сайта http://www. gks. ru/ Федеральной службы государственной статистики

Мода применяется при изучении спроса населения на товары широкого потребления (например, на обувь, одежду и т. д.), когда интерес представляет определение модального размера, пользующегося наибольшим спросом.

Мода, в зависимости от вида ряда (дискретного или интервального), определяется по-разному.

В дискретном ряду она определяется визуально, т. е. отыскивается значение признака, имеющее численность (в абсолютном или относительном выражении), большую, чем любое другое его значение. Это и есть мода. Если несколько значений признака имеют одинаковую, наибольшую по сравнению с другими численность, то это означает, что в ряду не одна, а несколько мод, например две. Ряд с двумя модами называют двумодальным (бимодальным). А если их больше двух ряд называют полимодальным. Если все значения ряда имеют одинаковую численность, то этот ряд не имеет моды.

Пример. Требуется определить моду по данным о распределении семей региона по числу детей (табл. 6.10.).

Таблица 6.10