Глав 6. Статистические показатели и величины (стр. 7 )

Для второго филиала:

Таким образом, дисперсия показывает, что в филиале 1 вариация стажа работы превосходит вариацию этого показателя в филиале 2 почти в 43 раза.

Дисперсию можно вычислять и вторым способом по формуле , часто эта формула более удобна и упрощает расчеты.

Таблица 7.4

Таблица расчетов дисперсии вторым способом

Номер работника	Стаж работы, лет	x2	x2
Филиал 1	Филиал 2	Филиал 1	Филиал 2
1	1	6	1	36
2	2	6	4	36
3	3	7	9	49
4	3	7	9	49
5	4	7	16	49
6	9	7	81	49
7	10	8	100	64
8	12	8	144	64
9	13	8	169	64
10	15	8	225	64
Итого	72	72	758	524
Среднее	7,2	7,2	75,8	52,4

;

;

;

.

Для повышения наглядности на практике часто используют среднее квадратическое отклонение.

Среднеквадратическое отклонение

Часто для характеристики рассеяния показателя удобнее использовать не дисперсию, а среднеквадратическое отклонение – корень второй степени из дисперсии: , которое имеет те же единицы измерения, что и анализируемый показатель.

Иногда в литературе встречается другое название среднего квадратического отклонения – «стандарт». Для того, чтобы вычислить среднее квадратическое отклонение, необходимо сначала определить дисперсию. Среднее квадратическое отклонение является общепринятым и наиболее распространенным показателем вариации. По величине среднее квадратическое отклонение несколько больше среднего линейного отклонения. Эмпирически установлено, что для нормального распределения соотношение между ними можно записать в виде .

Среднеквадратическое отклонение для двух филиалов (пример табл. 7.1–7.4), имеет следующие значения:

Для филиала 1: .

Для филиала 2: .

Рассмотрим пример расчета дисперсии и среднеквадратического отклонения для интервального ряда.

Известны данные о распределении 20 фирм по размеру капитала. Определим дисперсию и среднеквадратическое отклонение (табл. 7.5).

Таблица 7.5

Распределение фирм по размеру капитала

Группы фирм по размеру капитала, млн руб.	Число фирм						xi2	xi2 fi
4–6	2	5	10	–4,7	22,9	44,18	25	50
6–8	3	7	21	–2,7	7,29	21,87	49	147
8–10	5	9	45	–0,7	0,49	2,45	81	405
10–12	6	11	66	1,3	1,69	10,14	121	726
12–14	4	13	52	3,3	10,89	43,56	169	676
Итого	20	х	194	х	х	123,82	х	2 004

Определим дисперсию с учетом числа фирм в каждом интервале () и середины интервалов (xi), по формуле взвешенной средней:

.

В соответствии с расчетом, приведенным в табл. 7.5, получаем

.

Среднеквадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и варианты признака. Среднеквадратическое отклонение

млн руб.

Дисперсию можно определить и как разность между средним квадратом вариантов признака и квадратом их средней величины, т. е.

,

где

В данном случае (из табл. 7.5):

.

Тогда

.

Дисперсия обладает рядом свойств:

1)  дисперсия постоянной величины равна нулю: ;

2)  дисперсия не изменяется, если все варианты увеличить или уменьшить на одно и то же число: ;

3)  если все варианты показателя умножить на число , дисперсия увеличиться в раз, т. е. постоянный множитель выносится за знак дисперсии, будучи возведенным в квадрат: ;

4)  дисперсия относительно средней арифметической равна дисперсии относительно произвольной величины а минус квадрат разности между средней арифметической и величиной а, т. е.

.

Использование свойств дисперсии позволяет упростить расчеты, если вариационный ряд представляет арифметическую прогрессию или имеет равные интервалы.

7.2. Относительные показатели вариации

Все показатели вариации, которые были рассмотрены, являются абсолютными, т. е. выраженными в форме абсолютных статистических величин. Но эти показатели не всегда пригодны для сравнительного анализа вариации нескольких совокупностей. Для характеристики степени однородности совокупности, типичности, устойчивости средней, а также и для других статистических оценок часто применяются коэффициент вариации, коэффициент осцилляции, относительное линейное отклонение. Эти показатели являются относительными величинами и выражаются часто в процентах. Эти показатели вычисляются как отношение абсолютных показателей вариации к средней величине.

Рассмотрим следующие относительные показатели вариации и сделаем их расчеты для данных из таблицы 7.1. о стажи работ сотрудников по филиалам:

Коэффициент осцилляции (относительный размах вариации)

Коэффициент осцилляции для примера с двумя фирмами будет равен:

·  для 1-го филиала:

·  для 2-го филиала:

Относительное линейное отклонение:

;

·  для 1-го филиала:

·  для 2-го филиала:

Коэффициент вариации (относительное среднеквадратическое отклонение):

;