Глав 6. Статистические показатели и величины (стр. 3 )

Таблица 6.4

Виды степенных средних величин

k	Название средней	Формула расчета средней
Простая	Взвешенная
1	2	3	4
-1	Гармоническая
0	Геометрическая
1	Арифметическая
2	Квадратическая

Существует свойство мажорантности степенных средних величин. Если степенные средние разных видов, вычисляются по одной и той же совокупности, имеют различные количественные значения. Чем больше показатель степени k, тем больше величина соответствующей степенной средней (данное утверждение справедливо для совокупности с положительными значениями признака xi):

Средняя арифметическая

Наиболее распространенным видом степенной средней является средняя арифметическая.

Средняя арифметическая вычисляется по формулам взвешенной и простой средней (невзвешенной). Формулы невзвешенной средней применяется для вычислений средней для в несгруппированном ряде. Средняя арифметическая невзвешенная (простая):

.

Средняя арифметическая взвешенная применяется для сгруппированных рядов, когда одно и то же значение признака встречается неоднократно:

,

где n (N) – число единиц, обладающих разными значениями этого признака.

Пример. Пять портных за месяц сшили заказ на униформу, при этом первый сшил 5 костюмов, второй – 7, третий – 4, четвертый – 10, пятый– 12. Поскольку в исходных данных значение каждого варианта встречалось только один раз, для определения средней производительности портного применяем формулу простой средней арифметической:

Пример на расчет средней арифметической взвешенной.

В табл. 6.5. дан возраст студентов группы и количество человек этого возраста. Найти средний возраст студентов группы.

Таблица 6.5

Распределение студентов группы по возрасту

Возраст, хi	18	19	20	21	22
Число студентов, fi	2	11	5	1	1

Применяя формулу средней арифметической взвешенной, получаем:

Средний возраст студентов группы 19,4 года

Рассмотрим пример на расчет средней по интервальному вариационному ряду. По данным о распределении 100 работников предприятия по величине месячной заработной платы определим среднюю заработную плату, приходящуюся на 1 работника (табл. 6.6).

Таблица 6.6

Распределение заработной платы работников фирмы

Группа работников по месячной заработной плате, руб.	Середина интервала	Число работников, % к итогу
140–160	150	10
160–180	170	15
180–200	190	45
200–220	210	20
220–240	230	10
Итого		100

При расчете обобщающих характеристик интервальных вариационных рядов используется средняя арифметическая взвешенная:

,

где n – число групп признака.

А в качестве варианта xi в формулу подставляются середины интервалов:

,

где , – нижняя и верхняя граница интервала.

Для расчета средней заработной платы в рассматриваемом случае необходимо воспользоваться средней арифметической взвешенной:

руб.

Для усреднения абсолютных величин чаще применяется средняя арифметическая. В случае несгруппированных данных используют простую среднюю арифметическую. А если данные сгруппированы, то применяют среднюю арифметическую взвешенную.

В качестве веса может быть:

·  частота – число повторений одних и тех же вариант;

·  частость – удельный вес одних и тех же вариант;

·  доля объемного показателя в его суммарном объеме совокупности.

Иногда приходится рассчитывать общую среднюю по групповым средним – (по средним отдельных частей совокупности). В этом случае групповые средние принимаются как варианты, а расчет производят по формуле средней арифметической взвешенной:

.

Средняя арифметическая обладает рядом свойств:

1.  Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной:

при .

2.  Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю:

или ,

где – частота или частость.

3.  Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признаков от средней арифметической есть наименьшее число:

или .

Эти первые три свойства выражают основные черты средней арифметической. Следующие свойства можно рассматривать как вычислительные, так как они имеют прикладное значение.

4.  Если все варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то и со средней арифметической произойдут аналогичные изменения:

или .

5.  Если все варианты разделить на какое-либо постоянное число d, то средняя величина уменьшится в d раз:

.

6.  Если все веса разделить на какое-либо постоянное число d, то средняя величина не изменится:

.

Задачу из таблицы 6.6. можно решить, используя математические свойства средней арифметической. Для вычисления средней сначала уменьшают варианты признака на одно и то же число, затем полученные величины уменьшают в одно и то же число раз и вычисляют среднюю величину из них, а в полученный результат вносят поправки, но в обратном порядке. Проделаем это по данным, представленным в табл. 6.7.

Таблица 6.7

Расчет средней заработной платы работников фирмы

Группы работников по заработной плате, руб.	Число работников f, % к итогу	Середина интервала x	x – c, (c = 190)
140–160	10	150	–40	–2	–20
160–180	15	170	–20	–1	–15
180–200	45	190	0	0	0
200–220	20	210	20	1	20
220–240	10	230	40	2	20
Итого	100	х	х	х	5

Условная средняя: