Глав 6. Статистические показатели и величины (стр. 5 )

Распределение семей по числу детей

Число детей в семье	0	1	2	3	4	5
Число семей, тыс.	15	25	20	15	10	5

Просматривая частоты ряда (число семей), отметим, что наибольшая частота – 25. Эта частота соответствует семьям с одним ребенком. Таким образом, мода указывает, что в регионе наиболее часто встречаются однодетные семьи.

Вычисление моды для интервального вариационного ряда происходит в 2 этапа:

·  сначала определяется модальный интервал (визуально по максимальной частоте);

·  затем — значение модальной величины признака по формуле

,

где Мо – мода;

∆ – величина модального интервала (разность между верхней и нижней границами);

x0 – нижняя граница модального интервала;

fm – численность модального интервала (частота или частость);

fm–1 – численность интервала, предшествующего модальному;

fm+1 – численность интервала, следующего за модальным.

Пример. По данным о распределении 100 фотографов по дневной выработке определить моду (иначе, модальное значение) дневного числа фотографий у данной совокупности работников (табл. 6.11)

Таблица 6.11

Распределение объема услуг фотографов

Число фотографий в день, шт.	40–44	44–48	48–52	52–56	56–60	Итого
Число работников	12	28	36	16	8	100

Определим модальный интервал. Наибольшая численность равна 36 и соответствует интервалу 48–52. Значение моды

шт.

Мода интервального ряда графически определяется по гистограмме. Для этого правая вершина модального прямоугольника соединяется прямой с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левая вершина модального прямоугольника – с левым верхним углом последующего прямоугольника (рис. 6.1). Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения.

Рис. 6.1. Графическое определение моды в равно интервальном ряду

Медиана, как и мода, по-разному определяются для дискретного и интервального ряда, что проиллюстрируем приведенными ниже примерами.

Пример. Известен возраст 5 молодых людей. Запишем в виде ряда их номера в порядке увеличения возраста. Требуется найти медиану (медианное значение) возраста этой группы (табл. 6.12).

Таблица 6.12

Распределение пяти молодых людей по возрасту

Номер	1	2	3	4	5
Возраст, лет	18	19	20	21	22

Медиана есть срединное значение признака, т. е. значение признака у единицы совокупности, находящейся в середине ряда. В середине ряда – номер 3. Следовательно, возраст этого человека и есть медианный возраст или, кратко, медиана (Ме). Она равна 20 годам. Обозначив номер единицы совокупности, находящейся в середине ряда, через , а численность ряда через n, напишем формулу для его определения

Добавим к ряду номер и возраст еще одного человека: номер 6, 23 года. Нечетный ряд превратился в четный, и в его середине находится два номера 3 и 4. В таком случае за медиану принимается:

·  средняя величина из значений признака у единиц совокупности, находящихся в середине ряда, если признак возраст считается непрерывной величиной. В нашем примере: 3–20 лет; 4–21 год, и Ме = 20,5.

·  любое значение признака из двух близь лежащих, если признак считается дискретным. В нашем примере выбор осуществляется из № 3 – 20 лет или № 4 – 21 год, например, принимаем Ме = 20.

Порядковый номер единицы наблюдения, соответствующей медиане, можно формально определить следующим образом:

·  для совокупности с нечетным числом единиц , где n – число единиц в данной совокупности, .

·  для совокупности с четным числом единиц наблюдения невозможно установить единую единицу, занимающую среднее положение. Поэтому появляется относительный «центр»

. .

В том случае, когда число единиц наблюдения совокупности достаточно велико и значение признака не подвержено резким колебаниям, возможен упрощенный расчет медианы для второй ситуации

.

Пример. Требуется определить медиану на основании следующего распределения 101 семьи по числу детей (таблица 6.13).

Таблица 6.13

Распределение семей по числу детей

Число детей в семье	1	2	3	4	5	6	Итого
Число семей	10	40	30	10	7	14	101

Номер единицы совокупности, находящейся в середине ряда,

Медианным значением признака обладает семья 51. Для определения положения этого номера необходимо рассчитать накопленные частоты: 10, 50, 80, 90, 97, 101. Для семей с 1 ребенком – номера 1–10; с 2 детьми – номера 11–50; с 3 детьми – номера 51–80.

Тогда . Это значение медианы для дискретных рядов.

Вычисление медианы для интервального вариационного ряда происходит в 2 этапа:

1)  сначала определяется медианный интервал,

2)  затем — значение медианы признака вычисляется по формуле

где х0 – нижняя граница медианного интервала;

d – величина медианного интервала;

Sf – численность ряда (сумма частот или частостей);

fm – численность медианного интервала;

Sm-1 – накопленная частота до медианного интервала.

Пример. Определить медиану интервального ряда для распределения фотографов по дневной выработке (по которому определялась мода) (табл. 6.14.).

Таблица 6.14

Распределение объема услуг фотографов

Число фотографий в день, шт.	Число фотографов, % к итогу	Накопленные итоги
40–44	12	12
44–48	28	40
48–52	36	76
52–56	16	92
56–60	8	100
Итого	100	х

Для решения задачи нужно определить интервал, в котором заключена медиана – медианный интервал. Это тот интервал, до которого сумма (накопленный итог) численностей меньше половины всей численности ряда, а с прибавлением его численности – больше половины.

По накопленным итогам половина численности:

Сумма первых двух интервалов равна 40, т. е. меньше половины численности ряда. Если же мы прибавим численность третьего интервала, равную 36, то получим сумму, превышающую половину. Отсюда следует, что медианным является третий интервал 48–52. Медиана:

шт.

Следовательно, 50 % фотографов снимают в день меньше 49 фо­тографий, а 50 % – больше 49. Медиану можно показать графически на кумуляте вариационного ряда. На оси накопленных частот откладываем значение , Точка кумуляты, имеющая значение по оси ординат , по Оси абсцисс будет иметь значение признака, равное медианному (рис. 6.2.)

Рис. 6.2. Кумулята вариационного интервального ряда

с обозначенной медианой

Мода и медиана, не требует знания всех индивидуальных значений признака, и поэтому могут быть использована в качестве наиболее типичного значения признака в неоднородной совокупности.

В некоторых случаях мода и медиана количественно сходны со средней. При нормальном распределении все три показателя имеют одинаковую величину.

Мода и медиана дают представление о структуре совокупности, поэтому их называют структурными средними. В отличие от средней величины, которая рассчитывается на базе всех значений признака, мода и медиана характеризуют величину конкретного варианта, занимающего определенное положение в ран­жированном вариационном ряду.