Глав 6. Статистические показатели и величины (стр. 13 )

1.  График симметричен относительно максимальной ординаты. Максимальная ордината соответствует значению , ее величина равна

2.  График асимптотически приближается к оси абсцисс, продолжаясь в обе стороны до бесконечности. Следовательно, чем больше значения отклоняются от , тем реже они встречаются. Одинаковые по абсолютному значению, но противоположные по знаку отклонения переменной х от равновероятны.

3.  График нормального распределения имеет две точки перегиба, находящиеся на расстоянии от .

4.  При с увеличением s график становится более пологим. При с изменением график не меняет свою форму, а лишь сдвигается вправо или влево по оси абсцисс.

5.  В интервале находится 68,3% всех значений показателя. В интервале находится 95,4% всех значений показателя. В интервале находится 99,7% всех значений показателя.

Для оценки «пологости» («крутости», «островершинности») графика распределения используется показатель эксцесс (в переводе – излишество). Другими словами, производится сравнение частот исследуемого и нормального распределений для одинаковых значений показателя. При этом предполагается, что исследуемое и нормальное распределения имеют одно и то же значение средней величины и дисперсии. Таким образом, эксцесс – это показатель отличия ряда распределения от нормального закона по концентрации отдельных значений признака около центра распределения.

«Островершинность» нормального распределения можно оценить величиной среднего квадратического отклонения s. Действительно, данная функция достигает максимума при значении аргумента . Отсюда следует, что с возрастанием s максимальная ордината этой функции убывает, а ее график становится более пологим. При убывании s график нормального распределения становится более «островершинным».

Очевидно, что изменение средней величины не изменяет формы графика нормального распределения, а приводит к сдвигу вдоль оси абсцисс.

При оценке эксцесса можно пользоваться приближенной формулой Линдберга

,

где Р – доля вариантов (в процентах), находящихся в интервале, длина которого равна среднеквадратическому отклонению, в котором центром является средняя величина ряда; 38,29% – аналогичная доля вариантов для нормального распределения.

Более точная оценка эксцесса может быть получена с использованием центрального момента четвертого порядка

.

Для нормального закона распределения отношение .

Если значение эксцесса отличается от нуля, то распределение ряда отличается от нормального закона распределения. Если значение эксцесса положительно, то ряд распределения имеет более высокую и острую вершину, чем у нормального закона распределения. При отрицательном значении – более низкая и пологая вершина (рис. 9.2).

Значение показателя (x)

Рис. 9.2. Функции распределения с разными эксцессами:

1 – распределение с положительным эксцессом; 2 – нормальное распределение; 3 – распределение с отрицательным эксцессом

Средняя квадратическая ошибка эксцесса рассчитывается по формуле

,

где n – число наблюдений.

Наряду с показателями асимметрии и эксцесса, в качестве одного из элементарных приемов выяснения общего характера распределения, в частности его «нормальности», используют так называемые числа Вестергарда: 0,3; 0,7; 1,1; 3,0 (табл. 9.2).

Таблица 9.2

Условия близости исследуемого ряда к нормальному распределению

Числа Вестергарда	Условия близости ряда к нормальному распределению
Интервалы	Объем совокупности, %
0,3			25
0,7			50
1,1			75
3,0			99

В случае соблюдения указанных условий приближенно принято считать, что исследуемый ряд подчиняется закону нормального распределения.

Пример: Рассмотрим распределение работников отдела по стажу работ. Необходимо оценить близость ряда распределения к нормальному.

Вначале рассчитаем дисперсию и среднеквадратичное отклонение. Данные расчетов приведены в таблице 9.3. Затем определим близость исследуемого ряда к нормальному распределению (таб. 9.4)

Таблица 9.3.

Распределение работников по стажу работы

№ п/п	Стаж работы xi
1	1	26,45
2	2	17,16
3	2	17,16
4	3	9,88
5	3	9,88
6	4	4,59
7	5	1,31
8	6	0,02
9	6	0,02
10	7	0,73
11	8	3,45
12	9	8,16
13	14	61,73
14	16	97,16
Итого	86	257,71
	6,143
σ2		18,408
σ		4,29

Таблица 9.4.

Определение близости исследуемого ряда к

нормальному распределению

Интервалы (по числам Вестгарда)	Кол-во попавших единиц в интервал	Процент попавших единиц в интервал	Процент по Вестгарду
6,143 – 0,3· 4,29 = = 4,8557151	6,143 + 0,3·4,29= =7,4299992	4	29 %	25 %
6,143 – 0,7·4,29= =3,1395257	6,143 + 0,7·4,29= =9,1461886	7	50 %	50 %
6,143 – 1,1·4,29= =1,4233362	6,143 + 1,1·4,29= =10,862378	11	79 %	75 %
6,143 – 3·4,29= = –6,728564	6,143 + 3·4,29= =19,014278	14	100 %	99 %

Приближенно можно считать, что рассматриваемый ряд имеет тенденцию нормального распределения.

При описании распределения или вида плотности для непрерывных рядов можно использовать следующие функции плотности распределения:

·  нормальное распределение;

·  полунормальное распределение;

·  логарифмическое нормальное распределение;

·  распределение Релея;

·  экспоненциальное распределение;

·  распределение Коши;

·  гамма-распределение;

·  равномерное распределение;

·  распределение экстремальных значений Гумбеля;

·  распределение экстремальных значений Вейбулла;

·  бета-распределение.