Отбор единиц в выборочную совокупность (стр. 11 )

Даже если тренд хорошо описывается параболой второй степени, то для долгосрочного прогноза в экономике он, как правило, затруднителен (особенно если а2 < 0).

Например, производство мяса в России за 1983-1995 гг. характеризовалось уравнением параболы: при t = 0 для 1989 г. Ошибка аппроксимации (расхождений фактических данных от теоретических ) составляла всего 3,3%. Однако исходя из этого уравнения тренда уже в 2000 г. производство мяса представляет собой отрицательные величины ( <0). Соответственно тренд не может быть использован на дальнюю перспективу.

Парабола второй степени означает смену тенденции за рассматриваемый период времени (рост сменяется падением или наоборот). Такое возможно, если существенно изменились условия функционирования явления. Это, как правило, связано с новым этапом в развитии явления во времени. Предвидеть, что этот этап продлится достать долго, весьма проблематично. Для краткосрочного прогноза данная функция может иметь место.

Еще более проблематично использование в долгосрочном и несрочном прогнозах параболы третьей степени: .

Формально этот вид тренда предполагает, что во временном ряду стабильны третьи разности (), т. е. приросты вторых приростов. Это означает, что по ряду динамики тенденцию имеют абсолютные ускорения (вторые разности).

В этом случае ряд характеризуется тремя этапами развития (рост, спад и опять рост), и при прогнозе на длительный период нет уверенности в правомерности и экстраполяции третьего периода. Кроме того, полиномы высоких степеней требуют достаточно длинных динамических рядов, чтобы параметры тренда были статистически надежными: на каждый параметр при t должно приходиться не менее 6—7 временных единиц. Следовательно, парабола третьей степени должна содержать ряд хотя бы в 20 лет, что предполагает достаточно стабильную экономику.

Чаще отдают предпочтение функциям с меньшим числом параметров. Среди них широкое применение находит показательная кривая . Эту функции рекомендуется использовать, если ряд динамики характеризуется стабильным темпом роста.

t		Коэффициент роста
1		-
2		b
3		b
4		b
5		b

Следовательно, если за ряд лет динамика прибыли характеризуется уравнением вида: , где t = 1,2,..., то ежегодно прибыль возрастает в среднем на 50% (коэффициент роста 1,5). Данное уравнение означает геометрическую прогрессию уровней динамического ряда, что в экономике возможно в сравнительно небольшой период времени (ограничены ресурсы, меняются условия рынка). Поэтому данный вид тренда используется в основном в краткосрочных прогнозах.

Распространение в аналитическом выравнивании получили также гиперболы.

Равносторонняя гипербола имеет вид: .

Гиперболические кривые характеризуются наличием асимптоты, выше или ниже которой признак не может принимать значения (верхняя или нижняя асимптоты).

При наличии понижающейся тенденции уровней ряда гипербола для прогноза предпочтительнее, чем, например, линейный тренд , ибо при увеличении значений t в уравнении линейного тренда возможно при прогнозе на дальнюю перспективу получить у<0, а в гиперболе y = a + b/t величина у не может быть меньше параметра а.

Если b>0, то значения уровней динамического ряда снижаются во времени и асимптотически приближаются к параметру а.

Если b<0, то уравнение тренда характеризует тенденцию к росту уровней ряда с асимптотической границей, равной параметру а.

Например, численность мужчин старше трудоспособного возраста в Санкт-Петербурге за 1979-1995 гг. характеризовалась повышающейся тенденцией: , из которой следует, что численность мужчин старше трудоспособного возраста за этот период не может превысить 296,9 тыс. человек. Следует отметить, что этот максимум выдерживался для 1996 и 1997 гг., а в 1998 г. фактический уровень несколько превысил данную величину, составив 303,1 человек.

Оценивание параметров при подборе уравнений трендов

При использовании полиномов разных степеней оценка параметров производится по методу наименьших квадратов (МНК): строится система нормальных уравнений, число которых соответствует параметров полинома. Так, для линейного тренда система нормальных уравнений следующая:

,

в которой при машинной обработке t обычно обозначается 1, 2,..., п. При ручном способе счета t берется как отклонение от центра, т. е. , что очень удобно, ибо упрощается система нормальных уравнений. От того, как обозначен фактор времени t, зависит изменение значения параметра а.

Пример. Рассмотрим построение линейного тренда на следующем примере о просроченной задолженности по заработной плате за 9 месяцев 2000 г. по Санкт-Петербургу (табл. 12.7).

а = 410,12; b = -6,63(3);

y = 410,12 – 6,63t при t = {1, 2, …, 9}.

Таблица 12.7. Расчет параметров линейного тренда

(млн. руб.)

Месяцы	y	t		y t			y
Январь	387,6	1	1	387,6	-4	16	-1550,4	403,5
Февраль	399,9	2	4	799,8	-3	9	-1199,7	396,9
Март	404,0	3	9	1212,0	-2	4	-808,0	390,2
Апрель	383,1	4	16	1532,4	-1	1	-383,1	383,6
Май	376,9	5	25	1884,5	0	0	0	376,9
Июнь	377,7	6	36	2266,2	1	1	377,7	370,3
Июль	358,1	7	49	2506,7	2	4	716,2	363,7
Август	371,9	8	64	2975,2	3	9	1115, 7	357,1
Сентябрь	333,4	9	81	3000,6	4	16	1333,6	350,4
Итого	3392,6	45	285	16,565	0	60	-398	3392,6

Как видим, за 9 месяцев 2000 г. просроченная задолженность по заработной плате ежемесячно снижалась в среднем на 6,63 млн. руб., а расчетное значение просроченной задолженности за декабрь 2000 г. (т. е. при t = 0) составило 410,12 млн. руб. Соответственно точечный прогноз на октябрь составит: = 410,12 - 6,63 · 10 = 343,8 млн. руб. Фактически за октябрь просроченная задолженность составила 344,7 млн. Ошибка прогноза 0,3%.

Ту же величину прогноза получим, построив уравнение тренда с использованием обозначения дат с нулем в середине (). Так как , система нормальных уравнений примет вид: