Отбор единиц в выборочную совокупность (стр. 8 )

Аналитическое выравнивание уровней динамического ряда не дает хороших результатов при прогнозировании, если уровни ряда имеют резкие периодические колебания. В этих случаях простым путем определения тенденции развития явления представляется сглаживание динамического ряда методом скользящих средних. Предположим, что уровни динамического ряда образуют график, представленный на рис. 12.1.

Рис. 12.1. Графическое изображение динамического ряда с периодическими колебаниями

К такому временному ряду непосредственное применение аналитического выравнивания затруднено, ибо форму кривой не обосновать. Проблема выбора типа кривой может быть решена, если сгладить ряд методом скользящих средних.

Чтобы заменить фактические уровни временного ряда скользящими средними, выбирается период сглаживания. Чаще рекомендуется нечетный период скольжения: 3, 5, 7, 9. Соответственно рассчитываются 3-, 5-, 7- и 9-членная скользящие средние.

Скользящие средние представляют собой средние уровни за определенные периоды времени (3, 5, 7, 9) путем последовательного передвижения начала периода на единицу времени. Найденные по средней арифметической значения скользящих средних условно относятся к середине периода, по которому она исчислена. Рассмотрим применение скользящей средней по данным о производстве продукции одного предприятия (табл. 12.4).

Таблица 12.4 . Данные о производстве продукции

(тыс. ед.)

1990 г.	1991 г.	1992 г.	1993 г.	1994 г.	1995 г.	1996 г.	1997 г.	1998 г.	1999 г.
35	31	40	34	18	30	34	40	29	40

Поскольку период сглаживания теоретически не обосновать расчеты начинают с 3-членной скользящей средней. Первый сглаженный уровень получим для1991 г.: . Последовательно сдвигая на один год начало периода скольжения, находим сглаженные уровни для других лет. Так, для 1992 г. скользящая средняя составит: =(31+ 40 + 34)/3 = 35,0, для 1993 г. = (40 + 34 + 18)/ 3 = 30,7 и т. д. Так как скользящая средняя относится к середине интервала, за который она рассчитана, то динамический ряд сглаженных уровней сокращается на (n - 1) уровень при нечетном периоде скольжения и на n уровней — при четном периоде скольжения. Поэтому в нашем примере ряд сглаженных уровней стал короче на два члена для трехчленной средней и на четыре - для пятичленной (табл. 12.5).

Как видно из табл. 11.5, трехчленная скользящая средняя демонстрирует выровненный динамический ряд с разнонаправленной тен­денцией движения уровней: снижение до 1995 г. и далее рост их с некоторым нарушением в 1997 г. Чтобы исправить это нарушение закономерности, можно попытаться увеличить период скольжения до 5. Однако в нашем примере увеличение периода скольжения не дало положительных результатов. Трехчленная скользящая средняя дает более сглаженный ряд, чем пятичленная. Кроме того, для нее оказывается меньше сумма квадратов отклонений фактических данных () от сглаженных (): для трехчленной скользящей средней =234,43, а для пятичленной - = =365,4. Иными словами, трехчленная скользящая средняя лучше представляет закономерность движения уровней динамического ряда.

Таблица 12.5. Сглаживание уровней ряда

Годы	Фактический уровень,	Сглаженные уровни
		Простая скользящая средняя	Взвешенная скользящая средняя
		3-членная	5-членная	3-членная	5-членная
1990	35	-	-	-	-
1991	41	35,3	-	34,3	-
1992	40	35,0	31,6	36,3	34,6
1993	34	30,7	30,6	31,5	31,1
1994	18	27,3	31,2	25.0	27,4
1995	30	27,3	31,2	28,0	28,9
1996	34	34,7	30,2	34,5	29,4
1997	40	34,3	34,6	35,8	35,1
1998	29	36,3	37,0	34,5	35,6
1999	40	37,0	-	37,8	-
2000	42	-	-	-	-

Поскольку укрупнение интервала сглаживания приводит к уменьшению числа сглаженных уровней ряда, а длина динамического ряда в экономике часто ограничена (максимум 10—15 лет), то многочленные скользящие средние практически не применяются (исключение составляет применение скользящих средних при измерении сезонных колебаний).

Простые скользящие средние в ряде случаев позволяют выявить тенденцию лишь в общих чертах, ибо при сглаживании исчезают изгибы линии тенденции и некоторые уровни показывают вместо спада, имевшего место реально, подъем или наоборот (см., например, табл. 12.5 -1997, 1998 гг.).

Более совершенным приемом считается взвешенная скользящая средняя. Если при простой скользящей средней все уровни временного ряда считаются равноценными, то при исчислении взвешенной скользящей средней каждому уровню в пределах интервала сглаживания приписывается вес, зависящий от расстояния данного уровня до середины интервала сглаживания.

Веса для уровней ряда при сглаживании могут быть взяты как коэффициенты бинома Ньютона:

Интервал сглаживания (n)	Коэффициенты (f)	Сумма весов
3	1 2 1	4
5	1 4 6 4 1	16
7	1 6 15 20 15 6 1	64

Взвешенная скользящая средняя определяется как средняя арифметическая взвешенная:

,

где - скользящая средняя; - уровни динамического ряда, участвующие в расчете за интервал n; веса. Если принять, что сумма весов равна единице, то весом будет выступать .

Для рассматриваемого примера трехчленная взвешенная скользящая средняя за 1991 г. окажется равной:

;

для 1992 г. соответственно получим:

.

При пятичленной взвешенной скользящей средней для 1992 и 1993 гг. получим:

;

.

Аналогично рассчитываются и для других лет взвешенные скользящие средние, результаты которых приведены в табл. 12.5.

Как видим, взвешенные скользящие средние несколько ближе подходят к фактическим данным. Для них меньше, чем для простых скользящих средних: для трехчленной взвешенной скользящей средней =136,81, а для пятичленной - =215,87.

При сглаживании ряда динамики по чётному числу уровней выполняется дополнительная операция, называемая центрированием, т. е. определение средней из найденных средних, что необходимо для определения срединного периода. Например, если исчисляется скользящая с продолжительностью периода, равной 2, то расчет производится следующим образом:

; ; и т. д.

Тогда центрированные средние равны:

; и т. д.